Primitiva funktioner (3)

Räkna färdigt. Substituera tillbaka. Derivera din integral för att kontrollera om det stämmer.

Det kluriga i uppgiften är att jag har $(-dt)$. Jag jobbade vidare med uppgiften nu när jag är hemma (jag hoppade av tåget för att ta mig vidare hem efter en lång dag).

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{(1-x{)}^2}dx=\left[\begin{array}{ccc}t=1-x& \to & t\text{'}=(-1)\\ \frac{{\displaystyle dt}}{dx}=1& \leftrightarrow & dt=(-dx)\end{array}\right]=\int \frac{1}{t^2}(-dt)= \\ =\int t^{-2}(-dt)=(-1)\int t^{-2}dt=(-1)\frac{t^{-2+1}}{-2+1}=(-1)(-t^{-1})= \\ =(-1)(-\frac{1}{t})=(-1)(-\frac{1}{1-x})=\frac{1}{1-x} \end{gathered}$$

I boken står $-\frac{1}{x-1}$. Har man ett annat tillvägagångssätt eller är det min uträkning man har gjort och sedan "vänt" på nämnaren för att det ser "snyggare" ut om x är positiv?

WolframAlpha fick derivera den åt dig. Det stämmer.

Är det korrekt skrivet att sätta $"="$ överallt? Jag funderade på om det inte är pilar istället (osäker på vilken pil då också). Är mina pilar rätt i andra steget? Jag tycker det men på videos (youtube) gör de tvärtom? 

Är det ett slarvfel att jag har satt $\frac{dt}{dx}$ istället för $\frac{dx}{dt}$?

I din första uppgift hade du kunnat skriva integranden som 1/(x - 1)^2 och då sluppit minustecknet. Så kan man dock inte alltid göra och det är bra att vänja sig vid teckenbyten.

Nästa uppgift:

Det är rätt. Din sista mening förstår jag inte.

Själv hade jag satt

t = ln x, dt = dx/x. Kvar att integrera blir dt/t. 

Jag skrev fel i tidigare kommentar men rätt på bilden. Jag är endast osäker på pilarna nu. Här är det rättade med pilarna jag tror stämmer:

$\left[\begin{array}{ccc}t=1-x& \leftrightarrow & t\text{'}=(-1)\\ \frac{dt}{dx}=-1& \leftrightarrow & dx=(-dt)\end{array}\right]$

Ekvivalenta pilar sätter jag då man kan gå både från HL till VL och tvärtom, alltså den ekvivalenta pilens syfte.