Primitiva funktioner

Hej! Jag har otroligt svårt för att bestämma primitiva funktioner, jag förstår inte hur man ska göra när man får svårare funktioner. Jag förstår grundidén och uppgifterna i matte 3 & 4 men nu i femman ska man bestämma primitiva funktionerna till trigonometriska funktioner, funktioner med roten ur och funktioner med bråk. Hur ska man tänka/göra då?? Boken tar inte upp någonting?

Några exempel som jag har fastnat på:

$\int_{0}^{4} \sqrt{2 x + 1} d x \int_{0}^{π / 2} 8 \sin (x) \cos (x) d x \int_{1}^{4} \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Skulle bli otroligt tacksam om någon kan hjälpa och förklara för mig!

$\int_{0}^{4} \sqrt{2 x + 1} d x i d e t h ä r f a l l e t b y t e r v i v a r i a b e \ln 2 x + 1 = u d e r i v e r a f r å n b å d a l e d e n o c h s e n m u l t i p l i c e r a m e d d x r e s p e k t i v e d u 2 d x = d u S e n e r s ä t t b a r a i f ö r s t a i n t e g r a l e n u \tan g r ä n s a r \int \sqrt{2 x + 1} d x = \int \sqrt{u} \frac{d u}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} + C \int_{0}^{4} \sqrt{2 x + 1} d x = {[\frac{1}{3} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}}]}^{4}_{0} = \frac{1}{3} (27 - 1) = \frac{26}{3} D u k a n g ö r a a n d r a u p p g i f t e r n a p å s a m m a m e t o d .$

En sak som hjälpte mig när jag lärde mig de här sakerna (för första gången, repetition behövs alltid) var att skriva om de där sakerna på ett sätt jag kände igen bättre. Till exempel:

$\sqrt{x} = x^{1 / 2} = x^{0.5}$

och

$\frac{1}{x} = x^{- 1} \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$

och kombinerar man dessa så kan man till exempel skriva om såhär

$\frac{a}{\sqrt{x}} = a \cdot x^{- 0.5}$

Känner du igen hur du ska ta fram primitiva funktioner bättre då, efter att man skrivit om dem?

Nämnde iofs aldrig sin och cos. De tyckte jag själv var lite lättare eftersom de "hoppar mellan varandra" hela tiden. En titt i deriveringsreglerna brukar hinta om hur man "backar derivatan" och hittar primitiva funktionen, men det finns säkert någon som kan ge ett bättre svar där.

alireza6231 skrev :
$\int_{0}^{4} \sqrt{2 x + 1} d x i d e t h ä r f a l l e t b y t e r v i v a r i a b e \ln 2 x + 1 = u d e r i v e r a f r å n b å d a l e d e n o c h s e n m u l t i p l i c e r a m e d d x r e s p e k t i v e d u 2 d x = d u S e n e r s ä t t b a r a i f ö r s t a i n t e g r a l e n u \tan g r ä n s a r \int \sqrt{2 x + 1} d x = \int \sqrt{u} d u = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} + C \int_{0}^{4} \sqrt{2 x + 1} d x = {[\frac{2}{3} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}}]}^{4}_{0} = \frac{2}{3} (27 - 1) = \frac{52}{3} D u k a n g ö r a a n d r a u p p g i f t e r n a p å s a m m a m e t o d .$

Tack, jag förstod resonemanget! Men när man deriverar med kedjeregeln ska man multiplicera med den inre derivatan, ska man inte göra något motsvarande här när man tar fram den primitiva funktionen? Att man isåfall skulle dividera med den inre derivatan eller dividera med den primitiva funktionen? Enligt facit ska rätt svar vara 8 (2/3), kan det stämma?

foppa skrev :
En sak som hjälpte mig när jag lärde mig de här sakerna (för första gången, repetition behövs alltid) var att skriva om de där sakerna på ett sätt jag kände igen bättre. Till exempel:
$\sqrt{x} = x^{1 / 2} = x^{0.5}$
och
$\frac{1}{x} = x^{- 1} \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$
och kombinerar man dessa så kan man till exempel skriva om såhär
$\frac{a}{\sqrt{x}} = a \cdot x^{- 0.5}$
Känner du igen hur du ska ta fram primitiva funktioner bättre då, efter att man skrivit om dem?
Nämnde iofs aldrig sin och cos. De tyckte jag själv var lite lättare eftersom de "hoppar mellan varandra" hela tiden. En titt i deriveringsreglerna brukar hinta om hur man "backar derivatan" och hittar primitiva funktionen, men det finns säkert någon som kan ge ett bättre svar där.

Jaa, jag brukar också försöka byta ut dem så att det blir lättare! Men då får man ju multiplikation mellan och om man då har x i både täljaren och nämnare måste man ju isåfall använda produktregeln, fast bakvänt? :/ Hur gör man då?

Om man har multiplikation mellan två funktioner (dvs två "delar" som innehåller x eller vad det nu är för variabel man integrerar över) får man använda partiell integration. Kolla t.ex. https://sv.wikipedia.org/wiki/Partialintegration . Det brukar finnas med i formelblad eller Physics/Mathematics Handbook. Om det blir division mellan funktionerna kan du påminna dig om att på samma sätt som $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ kan du skriva om $\frac{F (x)}{G (x)} = F (x) \cdot G (x)^{- 1}$ .

Så, du skriver om G(x) där som en helt ny funktion som ser ut som G(x) fast upphöjt i minus 1.

Det blir snabbt rätt mycket att skriva på såna här uppgifter, så man får "hålla tungan i rätt mun" =)

Kan hända att det finns fler smarta sätt att lösa det på... isåfall är det nog någon som kompletterar med fler svar.

Svara

Visa senaste svar