Primitiva funktioner

Andra substitutionen: dt = cos(u) du, det är inte det du har satt in! Du behöver få till ett cos(u) i täljaren så att du kan få bort det samtidigt som du, och då får du tangens i nämnaren i stället för sinus.

I.o.m att jag sätter $\sin \left(u\right)$ (OBS, nämnaren) så bör väl $\cos \left(u\right)$ också "tilldelas" den positionen, kan jag tycka.

Du menar alltså att jag kan ta variabelbyte var som helst (t.ex. i detta fall i nämnaren) men att derivatan alltid ses som en faktor (hoppas du förstår vad jag skriver samt hur jag tänker)?

EDIT

Om jag tolkar dig rätt:

$[...] = \int \frac{1}{t\cos \left(u\right)}\cos \left(u\right)dt = \int \frac{1}{t}dt = \ln \left|t\right|=\ln \left|\sin \right(u\left)\right|=etc.$

Jag förstår dig inte...

Jag tror du skulle tjäna på att vara lika tydlig med derivatan i den andra substitutionen om i den första.

Det är väl inte fel i första substitutionen?

Nej, den första substitutionen är jättebra redovisad. Du borde göra den andra på samma sätt. Om u = sin (t), vad är då cos(t) lika med?

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{\sin \left(x\right)}dx =\int \frac{1}{2\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}dx= \left[\begin{array}{ccc}u=\frac{1}{2}x& \leftrightarrow & u\text{'}=\frac{1}{2}\\ du=\frac{1}{2}dx& & \end{array}\right]=\int \frac{1}{\sin \left(u\right)\cos \left(u\right)}du= \\ = \left[\begin{array}{ccc}t=\sin \left(u\right)& \leftrightarrow & t\text{'}=\cos \left(u\right)\\ dt=\cos \left(u\right)du& \leftrightarrow & \frac{1}{\cos \left(u\right)}dt=du\end{array}\right]= \int \frac{1}{t}dt \end{gathered}$$

Eller? Då kommer man fortfarande fram till $\ln \left|\sin \frac{x}{2}\right|+C$

Var får du $\cos \left(t\right)$ ifrån?

Jag tror vi blandar ihop variablerna. Jag sätter första variabeln till u medan du säger t.

Men om  $du=\frac{dt}{\cos(u)}$ så blir

$\int \frac{du}{\cos(u)\sin(u)}=\int \frac{dt}{\sin(u)\cos^2(u)}$

Testa istället standardsubstitutionen $t=\tan(x/2)$

Jag såg (innan du kommenterade) att jag både skrivit och tänkt fel och kom precis fram till det du skrev nyligen. Felet där jag stoppas nu vid är att jag skriver $[...] = \int \frac{1}{t{\cos }^2\left(u\right)}dt$. Men det blir väl ändå fel då vi har TVÅ obekanta; $t$ och $u$samt $dt$. Är det jag som tänker fel nu eller har du, Guggle, skrivit fel. Det ska väl ändå stå $\int \frac{1}{\sin \left(u\right){\cos }^2\left(u\right)}dt$ och inte $du$?

EDIT

Ah, jag ser att du ändrat nu. Jag återkommer snart (ska slänga i mig lite mat och kaffe).

Vad/var menar du med "testa standardsubstitutionen $t = \tan \left(\frac{x}{2}\right)$"?

Vet inte om du hann läsa något av det som blev "Error converting from LaTeX to MathML" eller något annat innan jag hann editera, men min post ska vara uppdaterad nu.

Det går att fortsätta på ditt inslagna spår och göra ytterligare substitutioner, men jag skulle rekommendera att från början använda standardsubstitutionen

$\displaystyle \int \frac{dx}{\sin(x)}=\begin{Bmatrix}t&=&\tan(\frac{x}{2}) & \\ \mathrm{d}x &=&2\cos^2(\frac{x}{2})\mathrm{d}t \\ \sin(x) &=&2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) \end{Bmatrix}=\int \frac{\mathrm{d}t}{t}$

Förlåt men jag får inte ihop det du har skrivit ovan. Skulle du vilja förklara mer detaljerat hur du kommit fram till första samt andra kolumnen?

Substitutionen $t=\tan(\frac{x}{2})$ fungerar alltid* om integranden är bildad genom någon elementär kombination av sin(x), cos(x) ( med elementär avses de fyra räknesätten och lite konstanter för att kombinera dem).

Om det nu är så att det alltid fungerar, varför använder man det inte alltid då? För att det oftast ger långa räkningar. Därför bör det om omöjligt undvikas. Men då integranden är så enkel som $\frac{1}{sin(x)}$ fungerar det utmärkt.

Genom "derivering"  av substitutionen $t=tan(\frac{x}{2})$ får vi

$\mathrm{d}t=\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}x$

Lös ut $\mathrm{d}x$

$\mathrm{d}x=2\cos^2(\frac{x}{2})\mathrm{d}t$

Slutligen sätter vi in uttrycken för $\mathrm{d}x$ och $\sin(x)$ i den ursprungliga integralen samt kommer ihåg att $t^{-1}=\frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}$..

Edit:  * på intervall som inte innehåller någon udda multipel av $\pi$