Primitiva funktioner

När du väl har löst ut vilket t som ger minsta värdet så behöver du sätta in det i ursprungliga uttrycket för att få värdet i den punkten. Du har fått att x1 = pi/3 och x2 = 5pi/3 (mer lämpligt att skriva t1 och t2) ger att derivatan är lika med noll. Nästa steg skulle då vara att se om värdena ligger inom det givna intervallet. Om värdet ligger inom intervallet kan du stoppa in t1 och t2 i integralen och se vad den blir. 

Lasse Vegas skrev:

När du väl har löst ut vilket t som ger minsta värdet så behöver du sätta in det i ursprungliga uttrycket för att få värdet i den punkten. Du har fått att x1 = pi/3 och x2 = 5pi/3 (mer lämpligt att skriva t1 och t2) ger att derivatan är lika med noll. Nästa steg skulle då vara att se om värdena ligger inom det givna intervallet. Om värdet ligger inom intervallet kan du stoppa in t1 och t2 i integralen och se vad den blir. 

Hur löser jag vilket t som får minsta värdet

Lasse Vegas skrev:

När du väl har löst ut vilket t som ger minsta värdet så behöver du sätta in det i ursprungliga uttrycket för att få värdet i den punkten. Du har fått att x1 = pi/3 och x2 = 5pi/3 (mer lämpligt att skriva t1 och t2) ger att derivatan är lika med noll. Nästa steg skulle då vara att se om värdena ligger inom det givna intervallet. Om värdet ligger inom intervallet kan du stoppa in t1 och t2 i integralen och se vad den blir. 

Såhär säger facit det jag inte förstår är vad extrempunkten har för nytta, hur korrelerar derivatan av funktionen med integralen av dunktionen

Lasse Vegas skrev:

När du väl har löst ut vilket t som ger minsta värdet så behöver du sätta in det i ursprungliga uttrycket för att få värdet i den punkten. Du har fått att x1 = pi/3 och x2 = 5pi/3 (mer lämpligt att skriva t1 och t2) ger att derivatan är lika med noll. Nästa steg skulle då vara att se om värdena ligger inom det givna intervallet. Om värdet ligger inom intervallet kan du stoppa in t1 och t2 i integralen och se vad den blir. 

Från facit undrar jag också varför det är fram till andra nollstället och inte bara fram till pi då det är minimipunkten. Grafiskt så ser man det ganska tydligt men jag förstår inte det algebraiskt. 

Om du bestämmer integralen får du uttrycket cos(t) - 1/2. Vi kan definera en ny funktion f(t) som f(t) = sin(t) - t/2. Eftersom f(t) ger integralens värde vid ett särskillt värde så är det den funktionen vi ska minimera.

Om du tar derivatan av f(t) får vi f'(t) = cos(t) - 1/2. Vi vet att max-värden och min-värden finns där derivatan är lika med noll, alltså där f'(t) = 0. När du löser f'(t) = 0 har du fått att t1 = pi/3 och t2 = 5pi/3. Men derivatan anger inte om det är ett lokalt max/min, utan bara att det är något av dessa. Så för att avgöra om det är ett lokalt min/max kan man kolla på andraderivatan f''(t) i de punkterna.

Om f''(t) < 0 är punkten ett lokalt max och om f''(t) > 0 är punkten ett lokalt min.