Primitiva funktioner

Betrakta 1* (roten)

Du får x*(roten) – Int (x* (–2x/(2*roten)) =

= x*roten  + Int (x^2 / roten)
är vi överens där?

Isf, vi ska hitta prim fkn till (x^2) / [(4–x^2)^(1/2)]

Jag har inte försökt ännu men funderar på en trigonometrisk substitution. Men det var länge sedan, det tar en stund.

Testa att bryta ut 4:an och sen göra variabelbyte:

x=2*sin (theta)

Vi har inte gått igenom trigonometriska substitutioner, finns det något annat sätt att lösa det istället för att sätta x = 2 * sin t ? 

3.14 skrev:

Vi har inte gått igenom trigonometriska substitutioner, finns det något annat sätt att lösa det istället för att sätta x = 2 * sin t ? 

Tyvärr inte som jag känner till. Lite ringrostig.

Denna integralen finns i ditt formelblad.

Notera:

$4-x^2=2^2-x^2=\alpha ^2-x^2$

Du har alltså:

$\displaystyle \int \sqrt{\alpha^2-x^2}dx$

Vi har inget formellblad

Dracaena skrev:

Denna integralen finns i ditt formelblad.

Notera:

$4-x^2=2^2-x^2=\alpha ^2-x^2$

Du har alltså:

$\displaystyle \int \sqrt{\alpha^2-x^2}dx$

Ditt formelblad = ?

Detta är en vanlig integral och finns i de flesta formelbladen i endim vilket jag antar är kursen TS läser.

Vi använder inte formelblad på lth, men jag vill kunna lösa den mes enbart partialintegration

Multiplicera med 1 och kör på. 

Dvs. 
$\displaystyle \int 1 \cdot \sqrt{4-x^2}dx$

hur kommer jag vidare?

Se (31) ovan

Jag fick rätt (nästan), men det var inget man gjorde mens snabbkaffet löste sig..

Steg 1: sätt t = x/2 och bryt ut så det blir 1–t^2 under rottecknet.

Steg 2: Partialintegrering. Här blir man misstänksam, för formeln ovan har en halva som jag inte får, men den dras av på slutet.

Steg 3: Rita en rätvinklig triangel med hypotenusa 1 och motstående katet t. Då blir närliggande katet roten ur (1–t^2). Vinkeln kallar jag v. Det ger 

sin v = t, cos v = (1–t^2),  (cos v)dv = dt

Sedan börjar det roliga. Man får integrera sinkvadrat(v) med dubbla vinkeln, men det vet ni såklart. På slutet sätter man in v = arctan {t/[(1–t^2)^(1/2)]} och allt är en lek. Till sist substituerar man tillbaka till x. 

PS Det slår mig i efterhand att roten ur (4–x^2) ju är en cirkelbåge med radie 2. Så den beräknade integralen från 0 till 2 bör bli pi.