Primitiva funktioner

$\int \frac{x+1}{x}dx =\int 1+\frac{1}{x}dx = x + \ln \left|x\right| +c$

 (: Bonusuppgift: 

Vad är $\int \frac{x}{x+1}$dx ?

ItzErre skrev:

$\int \frac{x+1}{x}dx =\int 1+\frac{1}{x}dx = x + \ln \left|x\right| +c$

 

 (: Bonusuppgift: 

Vad är $\int \frac{x}{x+1}$dx ?

Tack så mycket!! 

Vänta så det blir ln x eftersom det annars blir noll..?

Blir den nästa $\frac{x^2}{2\left(\ln \right(x)+x)}$??

Testa att derivera uttrycket och se vad då får. Integraler är inte lika "lätta" som derivator. Det finns inga regler som gör att man kan lösa alla integraler på samma sätt. Tex finns ingen primitiv till $\int e^{-x^2}dx$.  Ofta får man tänka att det är omvända derivatan. Dvs hur ska jag skapa ett uttryck som när jag deriverar ger mig det ursprungliga uttrycket.  Ibland får man tänka utanför boxen lite: 

$$\begin{gathered} \int \frac{x}{1+x}dx = \int \frac{x+1-1}{1+x}dx = \int 1-\frac{1}{1+x}dx \\ \int 1-\frac{1}{1+x}dx=x-\ln \left|1+x\right|+c \end{gathered}$$

Allmänt gäller det att

 $$\begin{gathered} \int \frac{a}{x+b}dx =a \ln \left|x+b\right|+c \\ där a och b är kons\tan ter \end{gathered}$$

ItzErre skrev:

Testa att derivera uttrycket och se vad då får. Integraler är inte lika "lätta" som derivator. Det finns inga regler som gör att man kan lösa alla integraler på samma sätt. Tex finns ingen primitiv till $\int e^{-x^2}dx$.  Ofta får man tänka att det är omvända derivatan. Dvs hur ska jag skapa ett uttryck som när jag deriverar ger mig det ursprungliga uttrycket.  Ibland får man tänka utanför boxen lite: 

$$\begin{gathered} \int \frac{x}{1+x}dx = \int \frac{x+1-1}{1+x}dx = \int 1-\frac{1}{1+x}dx \\ \int 1-\frac{1}{1+x}dx=x-\ln \left|1+x\right|+c \end{gathered}$$

 

Allmänt gäller det att

 $$\begin{gathered} \int \frac{a}{x+b}dx =a \ln \left|x+b\right|+c \\ där a och b är kons\tan ter \end{gathered}$$

Aha okej vad smart. Så man kan alltså bara lägga till +1-1 sådär för att komma fram till lösningen? 

Men tack så mycket! :D

SOSmatte skrev:

ItzErre skrev:

Testa att derivera uttrycket och se vad då får. Integraler är inte lika "lätta" som derivator. Det finns inga regler som gör att man kan lösa alla integraler på samma sätt. Tex finns ingen primitiv till $\int e^{-x^2}dx$.  Ofta får man tänka att det är omvända derivatan. Dvs hur ska jag skapa ett uttryck som när jag deriverar ger mig det ursprungliga uttrycket.  Ibland får man tänka utanför boxen lite: 

$$\begin{gathered} \int \frac{x}{1+x}dx = \int \frac{x+1-1}{1+x}dx = \int 1-\frac{1}{1+x}dx \\ \int 1-\frac{1}{1+x}dx=x-\ln \left|1+x\right|+c \end{gathered}$$

 

Allmänt gäller det att

 $$\begin{gathered} \int \frac{a}{x+b}dx =a \ln \left|x+b\right|+c \\ där a och b är kons\tan ter \end{gathered}$$

Aha okej vad smart. Så man kan alltså bara lägga till +1-1 sådär för att komma fram till lösningen? 

 

Men tack så mycket! :D

+1-1=0 så det ändrar inget (:

ItzErre skrev:

SOSmatte skrev:

Visa föregående citat

ItzErre skrev:

Testa att derivera uttrycket och se vad då får. Integraler är inte lika "lätta" som derivator. Det finns inga regler som gör att man kan lösa alla integraler på samma sätt. Tex finns ingen primitiv till $\int e^{-x^2}dx$.  Ofta får man tänka att det är omvända derivatan. Dvs hur ska jag skapa ett uttryck som när jag deriverar ger mig det ursprungliga uttrycket.  Ibland får man tänka utanför boxen lite: 

$$\begin{gathered} \int \frac{x}{1+x}dx = \int \frac{x+1-1}{1+x}dx = \int 1-\frac{1}{1+x}dx \\ \int 1-\frac{1}{1+x}dx=x-\ln \left|1+x\right|+c \end{gathered}$$

 

Allmänt gäller det att

 $$\begin{gathered} \int \frac{a}{x+b}dx =a \ln \left|x+b\right|+c \\ där a och b är kons\tan ter \end{gathered}$$

Aha okej vad smart. Så man kan alltså bara lägga till +1-1 sådär för att komma fram till lösningen? 

 

Men tack så mycket! :D

+1-1=0 så det ändrar inget (:

Hej igen, 

Det är en till integrerings fråga. :) 

Vi håller på med separabla funktioner i matten och en fråga är 

$$\begin{gathered} x^2+2+4xy{y}^{\text{'}}= 0 \\ 4xy{y}^{\text{'}} = -x^2-2 \\ y\frac{dy}{dx}=\frac{-x^2-2}{4x} \\ y dy = \frac{-x^2-2}{4x}dx \\ \int y dy = \int \frac{-x^2-2}{4x} dx \\ \frac{y^2}{2} = (-\frac{x^3}{3}-2x) \left(\ln \right(4x)+C) \end{gathered}$$

Första raden är "frågan" och resten är så jag har försökt löst det. Men jag tror det är integreringen av HL som jag inte lyckas med.. 

Vet du hur jag ska lösa den? 

Tack på förhand!

SOSmatte skrev:

ItzErre skrev:

Visa föregående citat

SOSmatte skrev:

ItzErre skrev:

Testa att derivera uttrycket och se vad då får. Integraler är inte lika "lätta" som derivator. Det finns inga regler som gör att man kan lösa alla integraler på samma sätt. Tex finns ingen primitiv till $\int e^{-x^2}dx$.  Ofta får man tänka att det är omvända derivatan. Dvs hur ska jag skapa ett uttryck som när jag deriverar ger mig det ursprungliga uttrycket.  Ibland får man tänka utanför boxen lite: 

$$\begin{gathered} \int \frac{x}{1+x}dx = \int \frac{x+1-1}{1+x}dx = \int 1-\frac{1}{1+x}dx \\ \int 1-\frac{1}{1+x}dx=x-\ln \left|1+x\right|+c \end{gathered}$$

 

Allmänt gäller det att

 $$\begin{gathered} \int \frac{a}{x+b}dx =a \ln \left|x+b\right|+c \\ där a och b är kons\tan ter \end{gathered}$$

Aha okej vad smart. Så man kan alltså bara lägga till +1-1 sådär för att komma fram till lösningen? 

 

Men tack så mycket! :D

+1-1=0 så det ändrar inget (:

Hej igen, 

Det är en till integrerings fråga. :) 

Vi håller på med separabla funktioner i matten och en fråga är 

$$\begin{gathered} x^2+2+4xy{y}^{\text{'}}= 0 \\ 4xy{y}^{\text{'}} = -x^2-2 \\ y\frac{dy}{dx}=\frac{-x^2-2}{4x} \\ y dy = \frac{-x^2-2}{4x}dx \\ \int y dy = \int \frac{-x^2-2}{4x} dx \\ \frac{y^2}{2} = (-\frac{x^3}{3}-2x) \left(\ln \right(4x)+C) \end{gathered}$$

Första raden är "frågan" och resten är så jag har försökt löst det. Men jag tror det är integreringen av HL som jag inte lyckas med.. 

Vet du hur jag ska lösa den? 

Tack på förhand!

Fungerar precis som den första integralen. Ta isär -x^2 och -2. 

ItzErre skrev:

SOSmatte skrev:

Visa föregående citat

ItzErre skrev:

SOSmatte skrev:

Visa föregående citat

ItzErre skrev:

Testa att derivera uttrycket och se vad då får. Integraler är inte lika "lätta" som derivator. Det finns inga regler som gör att man kan lösa alla integraler på samma sätt. Tex finns ingen primitiv till $\int e^{-x^2}dx$.  Ofta får man tänka att det är omvända derivatan. Dvs hur ska jag skapa ett uttryck som när jag deriverar ger mig det ursprungliga uttrycket.  Ibland får man tänka utanför boxen lite: 

$$\begin{gathered} \int \frac{x}{1+x}dx = \int \frac{x+1-1}{1+x}dx = \int 1-\frac{1}{1+x}dx \\ \int 1-\frac{1}{1+x}dx=x-\ln \left|1+x\right|+c \end{gathered}$$

 

Allmänt gäller det att

 $$\begin{gathered} \int \frac{a}{x+b}dx =a \ln \left|x+b\right|+c \\ där a och b är kons\tan ter \end{gathered}$$

Aha okej vad smart. Så man kan alltså bara lägga till +1-1 sådär för att komma fram till lösningen? 

 

Men tack så mycket! :D

+1-1=0 så det ändrar inget (:

Hej igen, 

Det är en till integrerings fråga. :) 

Vi håller på med separabla funktioner i matten och en fråga är 

$$\begin{gathered} x^2+2+4xy{y}^{\text{'}}= 0 \\ 4xy{y}^{\text{'}} = -x^2-2 \\ y\frac{dy}{dx}=\frac{-x^2-2}{4x} \\ y dy = \frac{-x^2-2}{4x}dx \\ \int y dy = \int \frac{-x^2-2}{4x} dx \\ \frac{y^2}{2} = (-\frac{x^3}{3}-2x) \left(\ln \right(4x)+C) \end{gathered}$$

Första raden är "frågan" och resten är så jag har försökt löst det. Men jag tror det är integreringen av HL som jag inte lyckas med.. 

Vet du hur jag ska lösa den? 

Tack på förhand!

Fungerar precis som den första integralen. Ta isär -x^2 och -2. 

Hmm, jag gör något fel..

$$\begin{gathered} y dy = -\frac{x^2}{4x}-\frac{2}{4x} dx \\ y dy = -\frac{x}{4}-\frac{1}{2x} dx \\ \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{8}-\ln \left(2x\right) +C \\ y = \sqrt{-\frac{x^2}{4}-2\left(\ln \right(2x)+C)} \end{gathered}$$

Det blirnågot fel med -$2\left(\ln \right(2x)+C$

när jag ska integrera. 

$\int \frac{-x^2-1}{x}=\int \frac{-x^2}{x}-\frac{1}{x}dx=\int -x-\frac{1}{x}dx=-\frac{x^2}{2}-\ln \left|x\right|+c$

ItzErre skrev:

$\int \frac{-x^2-1}{x}=\int \frac{-x^2}{x}-\frac{1}{x}dx=\int -x-\frac{1}{x}dx=-\frac{x^2}{2}-\ln \left|x\right|+c$

Men om det är en 2:a som är multiplicerad med x:et i nämnaren, vad händer med den då?

SOSmatte skrev:

ItzErre skrev:

$\int \frac{-x^2-1}{x}=\int \frac{-x^2}{x}-\frac{1}{x}dx=\int -x-\frac{1}{x}dx=-\frac{x^2}{2}-\ln \left|x\right|+c$

Men om det är en 2:a som är multiplicerad med x:et i nämnaren, vad händer med den då?

I facit i min bok har de skrivit 

$y = -x+2\ln x +\frac{1}{x}+c$