Primitiva funktionen till f(x)=(cos3x)^2-(sin3x)^2

Hej,
Jag har fastnat på den här uppgiften och får inte fram rätt svar hur mycket jag än försöker så tror det är något jag missat. Jag utgick ifrån kedjereglen omvänt.

(*=multiplikations tecken).

Om vi te x tar funktionen g(x)=(cos3x)^2 och deriverar den får vi ju yttre derivatan 2cos3x, samt två intre derivator, -sin3x*3 alltså får vi g´(x)=6cos3x(-sin3x).

Så om vi utför samma operation omvänt bör vi ju få G(x)=3(cos3x)^2(-sin3x)3=-9(cos3x)^2(sin3x).

stämmer det jag gjort hittills eller har jag redan gått fel?

Om det är så att det jag gjort hittills stämmer så skulle ju

F(x)=-9(cos3x)^2(sin3x)-3(sin3x)^2*cos3x*3=-9(cos3x)^2(sin3x)-9(sin3x)^2*cos3x

Facit säger F(x)=(sin6x)/6

Så vart har jag gått fel?

Tacksam för alla tips och svar.

Välkommen till Pluggakuten! För att integrera denna funktion behöver du antingen använda variabelsubstitution/partiell integration, eller, vilket jag skulle rekommendera: förenkling innan du integrerar. Om funktionen hade varit $g(x)=\cos^2{(x)}-\sin^2{(x)}$ , hur hade du gjort då? :)

Problemet med din metod är följande: Kedjeregeln säger att

$f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Om vi har en funktion på denna form, exempelvis (väldigt enkelt exempel) $f (x) = 5 {(x^{2} - 2)}^{4} \cdot 2 x$ , går det utmärkt att integrera $f(x)$ med hjälp av kedjeregeln baklänges, och då få $F(x)=(x^2-2)^5$ . Problemet i ditt fall är dock att $h'(x)$ -termen saknas. Om uppgiften hade varit att integrera $g (x) = - 3 \sin (3 x) \cdot (\cos^{2} (3 x)) - 3 \cos (3 x) \cdot (\sin^{2} (3 x))$ , hade kedjeregeln baklänges fungerat, men nu saknas en inrederivata till respektive uttryck.

Problemet är att man inte bara kan göra kedjeregeln "omvänt" om man vill antiderivera, U-substitution är i stort sett det motsatta till kedjeregeln. Så om vi har funktionen:

$g (x) = {(\cos (3 x))}^{2} \Rightarrow g' (x) = 2 (\cos (3 x)) * (- 3 \sin (3 x)) = - 6 \cos (3 x) \sin (3 x) .$

Så långt stämmer det. Förstår dock inte riktigt vart du fick G(x) ifrån, antideriverade du g(x) eller g'(x)? Oavsett så kommer man behöva använda sig av andra regler för att kunna antiderivera (integrera) det.

Men frågan egentligen handlade om att hitta integralen till: $f (x) = {(\cos (3 x))}^{2} - {(\sin (3 x))}^{2}$ och det är lite jobb...

Vi får då $F (x) = \int f (x) d x = \int {(\cos (3 x))}^{2} - {(\sin (3 x))}^{2} d x .$ För att lösa detta kan vi skriva om uttrycket med hjälp av en trigonometrisk identitet som säger att $\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ och i vårt fall så är det 3x istället för x inuti funktionerna. Men så vi får istället integralen:

$\int \cos (2 * 3 x) d x = \int \cos (6 x) d x$ , Om man är noggrann så ska man egentligen använda sig av en substitution men man kan absolut tänka "omvänd kedjeregel" här, dvs vilken funktion har derivatan cos? Sin förstås, men vi har 6x inuti, och eftersom att när man deriverar så multiplicerar man ju med koefficienten i den inre, så i vårt fall så måste man dela med koefficienten om man kör omvänt, alltså:

$\int \cos (6 x) d x = \frac{1}{6} \sin (6 x)$ vilket är vår primitiva funktion F(x). Man kan kontrollera om det stämmer genom att derivera (1/6)sin(6x) och då får du cos(6x). Jag antar att man inte har lärt sig så mycket om integrationstekniker i matte 4 så jag är lite osäker hur det är tänkt att ni ska kunna lösa denna uppgift, det kanske bara hade räckt med att förenkla f(x) med hjälp av den trigonometriska regeln som vi använde oss av tidigare och sedan tänka på kedjeregeln baklänges, det var nog bara så man egentligen skulle göra :)

Svara