Primitiva funktion.

Du har glömt att derivata av en konstant är 0, därför måste du lägga till en godtycklig konstant till den primitiva du tagit fram. 

Varför ska jag lägga till en konstant?

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/integraler/primitiv-funktion

Jag har googlat runt på nätet men jag har inte rikitgt förstått varför man lägger en konstant 

Det finns oändligt många primitiva funktioner till en viss funktion.

Exempel:

Både $F_1(x)=x^2$, $F_2(x)=x^2+5$ och $F_3(x)=x^2-67$ är primitiva funktioner till $f(x)=2x$

Varför då?

Jo, för oavsett om du deriverar $F_1$, $F_2$ eller $F_3$ så blir resultatet detsamma, nämligen $f(x)=2x$.

Det här brukar sammanfattas så att de primitiva funktionerna till $f(x)=2x$ är $F(x)=x^2+C$, där $C$ är en konstant.

======

Men om uppgiften endast handlar om att ta fram primitiva funktioner så behöver du varken derivera ursprungsfunktionen eller hitta dess extrempunkter.

Men varför ska man skriva den primitiva funktionen F(x) i min uppgift ovan som 

x^4/4 - 6x^2/2 + 6x +C 

istället för 

x^4/4-6x^2/2+6x

?

Yngve skrev:

Det finns oändligt många primitiva funktioner till en viss funktion.

Exempel:

Både $F_1(x)=x^2$, $F_2(x)=x^2+5$ och $F_3(x)=x^2-67$ är primitiva funktioner till $f(x)=2x$

Varför då?

Jo, för oavsett om du deriverar $F_1$, $F_2$ eller $F_3$ så blir resultatet detsamma, nämligen $f(x)=2x$.

Det här brukar sammanfattas så att de primitiva funktionerna till $f(x)=2x$ är $F(x)=x^2+C$, där $C$ är en konstant.

======

Men för att lösa uppgiften behöver du varken derivera ursprungsfunktionen eller hitta dess extrempunkter.

”Men för att lösa uppgiften behöver du varken derivera ursprungsfunktionen eller hitta dess extrempunkter.”

Vad menar du?

Katarina149 skrev:

”Men för att lösa uppgiften behöver du varken derivera ursprungsfunktionen eller hitta dess extrempunkter.”

 

Vad menar du?

Om uppgiften endast handlar om att hitta en primitiv funktion (och samtliga primitiva funktioner) till funktionen $y=x^3-6x+6$ så kommer du inte att ha någon nytta av att derivera den funktionen och hitta dess extrempunkter.

Därför behöver du i så fall inte göra det.

Katarina149 skrev:

Men varför ska man skriva den primitiva funktionen F(x) i min uppgift ovan som 

x^4/4 - 6x^2/2 + 6x +C 

istället för 

x^4/4-6x^2/2+6x

?

x^4/4 - 6x^2/2 + 6x är en primitiv funktion till x^3 - 6x + 6.

x^4/4 - 6x^2/2 + 6x + C är alla primitiva funktioner till x^3 - 6x + 6.

Ok alltså är den primitiva funktionen 

(x^4/4 - 6x^2/2 +6x + C) är alla primitiva funktioner till funktionen f(x)=x^3 -6x+6

Har du kontrollerat ditt svar?

Ja det har jag

OK bra.

Ditt svar är rätt (men du kan förenkla termen 6x^2/2 till 3x^2).

Är min graf rätt skissad?

Vad visar grafen?

Jag syftar på den skickade grafen 

Grafen ser ut som en sinuskurva.

Vilken funktion ska grafen visa?

Funktionen y=x^3 -6x +6 

OK, då stämmer inte grafen. Din graf har tre punkter där lutningen är lika med 0.

En tredjegradsfunktion har aldrig mer än två sådana punkter. Det hänger ihop med att derivatan av en tredjegradsfunktion är en andragradsfunktion och en sådan har aldrig fler än två nollställen.

Grafen ska se ut så här:

Hur kan man skissa en graf? Så att det blir korrekt? Varför blev grafen fel? Jag utgick ifrån min teckentabell 

Teckentabellen var fel. Den ska vara så här:

Varför är min teckentabell fel? Hur gjorde du för att skriva en rätt teckentabell? Dvs hur gjorde du när du skrev teckentabellen?

Här finns en beskrivning av hur du kan skissa grafer med hjälp av derivata.

Men, som sagt, för att lösa just denna uppgift behöver du inte veta hur grafen ser ut.

Jag har läst igenom hela beskrivningen om hur man skissar en graf. Men jag känner inte riktigt at jag hänger med på varenda steg de beskriver. Jag vet att man i den uppgiften inte behöver veta hur grafen kommer att se ut men jag vill lära mig att skissa grafer .. Vill därför veta vart felet jag gjorde i min teckentabell 

Bra att du vill lära dig att skissa grafer.

Här finns en video som beskriver hur man glr en teckentabell.

Varför blir grafen inte rätt? 

Din teckentabell är fortfarande fel.

Derivatan vid $x=-\sqrt{3}$ är positiv, inte negativ.

Tips: Det är lättare att räkna om du väljer andra punkter än $\pm\sqrt{3}$ och 1 i intervallen. Välj t.ex. x = -2, x = 0 och x = 2.

Jag testar på nytt och får återigen fel graf

Nu ser grafen principiellt rätt ut.

Den börjar nerifrån vänster, går uppåt (f'(x)>0) till ett lokalt maxima vid $x=-\sqrt{2}$ (f'(x)=0), vänder ner (f'(x)<0) till ett lokalt minimum vid $x=\sqrt{2}$ (f'(x)=0) varefter den vänder uppåt igen (f'(x)>0).

Du kan inte endast med hjälp av derivatan veta grafens vertikala position, dvs hur högt upp eller ner den befinner sig. För att ta reda på det kan du ta reda på max- och minvärdena samt kanske funktionsvärdet vid x = 0 (eftersom det är enkelt att beräkna).

När du skriver funktionsvärde, menar du att jag ska a reda på y värdet? Dvs då x = - roten ur 2 är y=11...

När x=roten ur 3 då är y värdet 3

jag har försökt på ett ungefär att markera det . Men det blir inte helt rätt. Kan du visa hur man ska tänka stegvist för att det ska bli rätt skiss på den grafen?

• Beräkna $f(-\sqrt{2})$. Det ger dig y-koordinaten för maxpunkten. Markera maxpunkten i koordinatsystemet.
• Beräkna $f(\sqrt{2})$. Det ger dig y-koordinaten för minpunkten. Markera minpunkten i koordinatsystemet.
• Beräkna $f(0)$. Det ger dig y-koordinaten för grafens skärningspunkt med y-axeln. Markera denna punkt i koordinatsystemet.
• Dra nu mjukt böjda kurvor mellan de tre inritade punkterna.
• Kom ihåg att sätta ut x- och y- värden på koordinataxlarna.

Är det här ksk bättre 

Nej då var den förra bättre.

1. Vad får du för koordinater för max- respektive minpunkterna?
2. Var skär grafen y-axeln?
3. Varför försvann maxpunkten vid $x=-\sqrt{2}$?
4. Varför har du ändrat till negativ lutning där den enligt teckentabellen ska vara positiv (för $x<-\sqrt{2}$)?