Primitiva funk rationella utan reella rötter i nämnare

Verkar som att du gjort ett misstag i nämnaren efter variabelbytet det borde stå t^2+1 inte t^2-1

Tack Tendo!  

Nu ser jag det.😃

Hej!

Prova att skriva nämnaren i termer av täljaren i hopp om att förenkla beräkningarna.

    $x^2+4x+5=(x+1)^2+2(x+1)+2$.

Inför beteckningen $y=x+1$ för att få integralen

    $\displaystyle\int\frac{x+1}{(x+1)^2+2(x+1)^2+2}\,dx = \int\frac{y}{y^2+2y+2}\,dy$.

Derivatan av nämnaren är $2y+2=2(y+1)$ och detta liknar täljaren. Utnyttja detta!

    $\frac{y}{y^2+2y+2} = \frac{1}{2}\frac{2(y+1-1)}{y^2+2y+2}=\frac{1}{2}\frac{2(y+1)}{y^2+2y+2}-\frac{1}{y^2+2y+2}.$

Integralen blir då omedelbart 

    $\displaystyle\frac{1}{2}\ln|y^2+2y+2|-\int\frac{1}{y^2+2y+2}\,dy.$

Kvadratkomplettering av nämnaren ger $y^2+2y+2=(y+1)^2+1$ och med beteckningen $t=y+1$ blir den återstående integralen

    $\displaystyle\int\frac{1}{t^2+1}\,dt = \arctan t.$

Den sökta integralen är 

    $\displaystyle\ln\sqrt{|x^2+4x+5|}-\arctan(x+2).$

Tack Albiki!

Oj detta var nytt för mig. Känns lite svårt men ska försöka tänka på det 🙂