Primitiv funktion uppgift 6 (Matematik/Matte 3/Derivata)

För den primitiva funktionen rekommenderar jag att kolla formelsamlingen för primitiva funktionen för $e^{k x}$ https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/differential-och-integralkalkyl/primitiva-funktioner

Glöm inte att skissa graferna för de två funktionerna så du räknar integralen för rätt område och inte råkar missa eller dubbelräkna någon del av ytan!

Jag räknar för området mellan x=0 och x=q.8887704

Katarina149 skrev:
Jag räknar för området mellan x=0 och x=q.8887704

Är du säker att du räknat rätt isåfall? I grafen du skickat ser funktionerna ut att skära varandra vid ca x=2,1?

Jag vet inte hur man räknar ut den exakta skärningspunkten

Katarina149 skrev:
Jag vet inte hur man räknar ut den exakta skärningspunkten

Ah ok men då kör vi det först! Annars blir det svår att få rätt area sen.

I skärningspunkten så har de två funktionerna samma y-värde för ett specifikt x-värde, dvs är funktionerna lika för ett specifikt värde x.

$f (x) = g (x) e^{0, 5 x} = 5 - x$

Kan du lösa ut x?

ln(e^0.5x)=ln(5-x)

0.5x=ln(5-x)

x= (ln(5-x))/0.5 är där de skär varandra. Det är även den högra integrationspunkten. Den vänstra integrationspunkten är 0

Katarina149 skrev:
ln(e^0.5x)=ln(5-x)

0.5x=ln(5-x)

x= (ln(5-x))/0.5 är där de skär varandra. Det är även den högra integrationspunkten. Den vänstra integrationspunkten är 0

Nu har du dock x på båda sidor av uttrycket, för vilket värde x stämmer 0.5x=ln(5-x)?

Vet faktiskt inte hur man kan lösa en sån ekvation? Har du någon tips?

Nej det går inte att lösa ut $x$ på något enkelt sätt.

Vi får nöja oss med närmevärdet $\approx2,12$ .

========

För att hitta en primitiv funktionen till $f(x)=e^{0,5x}$ så kan vi använda oss av metoden att vi gissar och prövar, gissar och prövar.

Gissning 1: $F(x)=e^{0,5x}$ . Då är $F'(x)=0,5\cdot e^{0,5x}$ . Det är ganska nära, men vi får en faktor 0,5 som inte ska vara där.

Gissning 2: Vi kompenserar genom att dividera med den oönskade faktorn från gissning 1: $F(x)=\frac{e^{0,5x}}{0,5}$ . Då är $F'(x)=\frac{0,5\cdot e^{0,5x}}{0,5}=e^{0,5x}$ . Det stämmer!

Alltså är integrationsgränsen

x=0 och x=2.12

För den första integralen ja. Men sedan har du även en andra integral att beräkna.

Yngve skrev:
Nej det går inte att lösa ut $x$ på något enkelt sätt.

Vi får nöja oss med närmevärdet $\approx2,12$ .

========

För att hitta en primitiv funktionen till $f(x)=e^{0,5x}$ så kan vi använda oss av metoden att vi gissar och prövar, gissar och prövar.

Gissning 1: $F(x)=e^{0,5x}$ . Då är $F'(x)=0,5\cdot e^{0,5x}$ . Det är ganska nära, men vi får en faktor 0,5 som inte ska vara där.

Gissning 2: Vi kompenserar genom att dividera med den oönskade faktorn från gissning 1: $F(x)=\frac{e^{0,5x}}{0,5}$ . Då är $F'(x)=\frac{0,5\cdot e^{0,5x}}{0,5}=e^{0,5x}$ . Det stämmer!

Jag förstår inte hur du gissar? Varför delar du med 0.5?

Det här svaret fick jag. Vet ej om det är rätt. Kan någon markera vilken area det är som jag beräknar? För jag förstår inte vilken del av grafen som beräknas

Svar på din första fråga: Jag vet att derivatan av $e^{0,5x}$ är $0,5\cdot e^{0,5x}$

Därför är $a\cdot e^{0,5x}$ , där $a$ är en konstant, en primitiv funktion till $e^{0,5x}$ .

Istället för att försöka tänka ut vad $a$ ska vara så gissar jag att $a=1$ och prövar om det stämmer.

Dvs jag gissar att en primitiv funktion är $F(x)=e^{0,5x}$ .

Det stämmer inte, eftersom $F'(x)$ då blir en faktor 0,5 för stor. För att kompensera för denna faktorn så gör jag en ny gissning på $F(x)$ där jag har dividerat med den faktorn. Då blir $F'(x)$ rätt och jag har hittat en primitiv funktion.

=============

Svar på din andra fråga:

Den totala arean är A1 + A2, se bild.

Din första integral är rätt. A1 är ungefär lika med 3,7 a.e.

Din andra integral stämmer inte. A2 är lika med integralen av funktionen g(x) = 5-x från x = 2,1 till den högra integrationsgränsen, dvs till den punkt där grafen till g(x) skär x-axeln.

Varför ska det vara just det områdets area som ska beräknas?
Varför är det fel att beräkna arean av det här svart markerade området?

Yngve skrev:
Den totala arean är A1 + A2, se bild.

Din första integral är rätt. A1 är ungefär lika med 3,7 a.e.

Din andra integral stämmer inte. A2 är lika med integralen av funktionen g(x) = 5-x från x = 2,1 till den högra integrationsgränsen, dvs till den punkt där grafen till g(x) skär x-axeln.

Jag förstår inte heller varför integrationsgränsen inte är likadan för båda funktionerna

Titta på bilden. Ser du att när x ligger mellan 0 och 2,1 (ungefär) så är det den blåa linjen som är "tak" på arean, och när x ligger mellan 2,1 och 5 så är det den gröna linjen som är "tak"? Ser du att det är just när x är (ungefär) lika med 2,1 som den blå och den gröna linjen korsar varandra?

Katarina149 skrev:
Varför ska det vara just det områdets area som ska beräknas?
Varför är det fel att beräkna arean av det här svart markerade området?

Bra observation! Jag tänkte också på det i början, men så såg jag att uppgiften lyder ".. f(x) och g(x) begrönsar tillsammans med koordinataxlarna ett område ...", dvs de menar båda koordinataxlarna.

Det område du har markerat begränsas, utover f(x) och g(x), endast av en koordinataxel.

Ja men varför räknar man intee med x värden som är mindre än 0? Varför är det just det området där arean ska beräknas

Katarina149 skrev:
Ja men varför räknar man intee med x värden som är mindre än 0? Varför är det just det området där arean ska beräknas

Hur menar du då?

Jag har i figuren markerat de två givna graferna och koordinataxlarna.

Kan du skugga det område du tycker borde ingå?

Ja det stämmer.

Har du då fått svar på din fråga om varför man inte ska räkna med x-värden som är mindre än 0?

Nej. Jag förstår inte varför man ska räkna med x=5 till x=0. Varför ska man inte räkna med x=5 till x=-5?

Området du har markerat slutar vid den gröna linjen.

Funktionen ska egentligen se ut så här

OK, det är samma grafer som de jag ritade.

Kan du skugga det område du tycker borde ingå?

Det är precis samma bild som tidigare, bara andra färger.

Kan du markera tydligt vilket område det är som vi skall beräkna arean av?

Jag ser inte att det finns en tydlig skärningspunkt mellan x axeln och den blåa grafen. Hur skulle man bestämma integrationsgränsen?

Läs uppgiften: funktionen f(x) och g(x) begränsar tillsammans med koordinataxlarna ett område. Det betyder att både x-axeln och y-axeln är gränser för området.

När det står ”koordinataxlar” syftar man på x ”positiva koordinat axlar” och ”y’s positiva koordinat axlar?”

Katarina149 skrev:
Jag ser inte att det finns en tydlig skärningspunkt mellan x axeln och den blåa grafen. Hur skulle man bestämma integrationsgränsen?

Ditt markerade område är fel.

Läs uppgiftslydelsen igen. Där står att området begränsas av koordinataxlarna.

Det område du har markerat begränsas inte av y-axeln, så det uppfyller inte villkoret i uppgiften.

Läs även mitt svar här.

=============

Katarina149 skrev:

När det står ”koordinataxlar” syftar man på x ”positiva koordinat axlar” och ”y’s positiva koordinat axlar?”

Nej, när det står koordinataxlar så syftar man på hela koordinataxlar, inte bara på delar av dem.

Men i den här uppgiften så är det endast delar av koordinataxlarna som verkligen är med och utgör ytans begränsningar, precis som det endast är delar av de två graferna som är med och utgör ytans begränsningar.

Okej nu förstår jag tankesättet. Det står ”koordinataxlarna” vilket betyder att grafen ska begränsas av y och x koordinataxlar (som är positiva) åt höger. Men vad hade det betytt om det stått begränsas av ”koordinataxeln ”?

Men vad hade det betytt om det stått begränsas av ”koordinataxeln ”?

Så skulle man aldrig ha skrivit. Man kunde ha skrivit "x-axeln" eller "y-axeln" och då hade det blivit olika områden.

Läs mitt senaste svar igen, jag har kompletterat det.

Om det hade stått "begränsas av koordinataxeln" i den här uppgiften så hade så hade det varit en dåligt formulerad uppgift eftersom det då inte hade varit en entydig beskrivning av ett område.

Okej då förstår jag.

Detta är området som begränsas isåfall

Vad har den blåa grafen för integrationsgräns?
Vad har den gröna grafen för integrationsgräns?

Graferna har ingen skärningspunkt. Grafen begränsas dock av x=0 som är den minsta integrationsgränsen

Läs det här svaret igen.

Vad menar du med att graferna inte har någon skärningspunkt? Med vad? Med varandra? Med koordinataxlarna?

Jag menar att de inte har en skärningspunkt med varandra. När jag försöker skriva in funktionerna lappen mathpapa så får jag inget värde på x eller y , dvs de skär inte varandra på någon punkt . Det här gör att jag måste gissa mig fram. Men jag vet inte direkt hur

Jo, graferna skär visst varandra i en punkt. Jag har markerat den med en röd punkt.

Däremot går det inte att räkna fram ett exakt x-värde för skärningspunkten utan vi får nöja oss med ett närmevärde enligt tidigare svar i den tråden.

Vi kan anta att graferna skär varandra då x=2.1

integrationspunkten för den blåa grafen blir då

mellan

x=0 och x=2.1

integrationspunkten för den gröna linjen blir då

x=0 till x=5 . Stämmer dessa värden på x? För därefter blir det enkelt. Då tar jag bara skillnaden mellan areorna

Nej det stämmer inte. I så fall beräknar du arean av följande område:

Läs istället detta svar igen.

Eller ännu bättre, läs hela tråden igen. Där finns svar på alla dina frågor.

Ska det vara från x=5 och x=2.1? För den gröna grafen?

Ja det stämmer.

Jag har gjort ett försök. Jag fick svaret att arean är 9.9ae. Vet ej om det är rätt

Jag tycker uppgiften kunde ha varit tydligare. Nu får man titta på ett område i taget och fråga sig "är det det här", "är det det där". Men det kanske hör till uppgiften att man ska fundera ordentligt på vilket område som menas.

Men är svaret rätt?

Nej du har glömt att sätta in den undre gränsen på första integralen.

$e^0$ är inte lika med 0.

Yngve skrev:
Nej du har glömt att sätta in den undre gränsen på första integralen.

$e^0$ är inte lika med 0.

Jag förstår inte mitt fel. Kan du påpeka det lite tydligare?

Det här är fel:

Det ska vara $A_1=\frac{e^{0,5\cdot2,1}}{0,5}-\frac{e^{0,5\cdot0}}{0,5}$

Okej nu ser jag felet. När jag gör om uträkningen får jag att att A1=3.7Ae och A2 är 4.205ae. Totala arean är A1+A2=7.9ae

Katarina149 skrev:
Okej nu ser jag felet. När jag gör om uträkningen får jag att att A1=3.7Ae och A2 är 4.205ae. Totala arean är A1+A2=7.9ae

Är det rätt?