Primitiv funktion till krånglig trigonometrisk funktion

$$\begin{gathered} {\int }_{}\frac{1}{\sin x + {\sin }^{2}x}=\left|\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, dx = \frac{2}{1+t^2}dt, t = \tan \frac{x}{2}\right| \\ ={\int }_{}\frac{(1+t^2)\times 2}{2t(1+t^2)+4t^2}=\int \frac{(1+t^2)}{t(1+t^3+2t^2)}=\int \frac{1}{t(1+t^3+2t^2)}+\int \frac{{\displaystyle t^2}}{{\displaystyle t(1+t^3+2t^2)}} \end{gathered}$$

Antar att jag ska fortsätta genom partialbråksuppdelning?

$$\begin{gathered} {\int }_{}\frac{1}{t(1+t^3+2t^2)}=\frac{A}{t}+\frac{B{t}^3+C{t}^2+Dt+E}{(1+t^3+2t^2)} \\ A(1+t^3+2t^2) + t(B{t}^3+C{t}^2+Dt+E) = 1 \\ A = 1, B = E = 0, C = -1, D = -2 \\ {\int }_{}\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle t(1+t^3+2t^2)}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle t}}+\frac{{\displaystyle -t^2-2t}}{{\displaystyle (1+t^3+2t^2)}} \end{gathered}$$

Nu börjar jag undra om jag är på ett villospår.. Ser ingen direkt väg mot en lösning.