Primitiv funktion till komplicerat rotuttryck

Pröva att bryta ut ett t ur rotuttrycket.

Ser du något du känner igen då?

Fundera på om du måste hantera de båda fallen t < 0 och t > 0.

Utbrytning ger $f=t\sqrt{4+t^2}$. Då kan jag använda partiell integration och kan derivera rotuttrycket istället. Var det det du tänkte på? Ska testa det.

(Vad gäller båda fallen har vi i uppgiften faktiskt ett intervall givet, jag tog bara inte med intervallet då jag tänkte att det nog inte är relevant för uppgifen.)

Enligt facit ska det iallafall bli en sådan här enkel primitiv funktion.

Ja, detta eftersom $t$ är inre derivatan till $\sqrt{4+t^2}$ (sånär som på en konstant).

Nej, jag förstår ändå inte riktigt hur jag ska göra ...

$f(t)=\sqrt{4t^2+t^4}=\sqrt{t^2(4+t^2)}=$

$=\sqrt{t^2}\sqrt{4+t^2}=|t|\sqrt{4+t^2}$

Om definitionsmängden till $f$ inte innehåller negativa tal så har vi att $f(t)=t\sqrt{4+t^2}$

Vi ser att derivatan av $4+t^2$ är $2t$ vilket gör att vi gissar på följande primitiva funktion till $f(x)$: $F(x)=(4+t^2)^{\frac{3}{2}}$

Vi deriverar $F(t)$ och får då $F'(t)=\frac{3}{2}\cdot\sqrt{4+t^2}\cdot2t=3t\sqrt{4+t^2}$

Nästan rätt, sånär som på en faktor $3$

Vi anpassar och gissar en ny primitiv funktion $F(t)=\frac{(4+t^2)^{\frac{3}{2}}}{3}$

Derivera och kontrollera:

$F'(t)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\sqrt{4+t^2}\cdot2t=t\sqrt{4+t^2}$

Rätt!

"Vi ser att derivatan av 4+t2 är 2t vilket gör att vi gissar på följande primitiva funktion"

Vad är detta för en metod - variabelsubstitution?

Nej, det är kedjeregeln "baklänges".

Men du kan substituera u = 1+t².