6 svar

481 visningar

Stoffer behöver inte mer hjälp

Primitiv funktion till funktion med rotuttryck

Beräkna samtliga primitiva funktioner till $\int \sqrt{x^{2} + 1} d x$ .

Lösning:

Låt $t = x + \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 1} = t - x$ .

$\Rightarrow x^{2} + 1 = t^{2} - 2 t x + x^{2} \Rightarrow x = \frac{t^{2} - 1}{2 t} \Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt{x^{2} + 1} = t - x = \frac{t^{2} + 1}{2 t} \\ \frac{d x}{d t} = \frac{t^{2} + 1}{2 t^{2}} \end{cases}$

Då får vi att

$\int \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int \frac{t^{2} + 1}{2 t} \cdot \frac{t^{2} + 1}{2 t^{2}} d t = \int \frac{(t^{2} + 1)^{2}}{4 t^{3}} d t = \int \frac{t^{4} + 2 t^{2} + 1}{4 t^{3}} d t = = \frac{1}{4} \int \frac{t^{4}}{t^{3}} + 2 \frac{t^{2}}{t^{3}} + \frac{1}{t^{3}} d t = \frac{1}{4} \int t + 2 \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{3}} d t = = \frac{1}{4} (\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \ln |t| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{2}}) + C = \frac{1}{2} (\ln |t| + \frac{t^{2}}{4} + 1 - \frac{1}{4 t^{2}}) + C = = \frac{1}{2} (\ln |x + \sqrt{x^{2} + 1}| + \frac{2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1}{4} + 1 - \frac{1}{4 (2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1)}) + C$

Men facit säger att svaret är

$= \frac{1}{2} (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})) + C$ ,

dvs:

$\frac{1}{2} (\frac{t^{2} - 1}{2} - \frac{t^{2} - 1}{2 t} + \ln (t)) + C$ .

Förstår inte var jag gör fel.

Det känns lite som att det dyker upp en +1 i slutet av tredje raden efter "Då får vi att". Jag förstår inte var den kommer ifrån.

PeBo skrev :
Det känns lite som att det dyker upp en +1 i slutet av tredje raden efter "Då får vi att". Jag förstår inte var den kommer ifrån.

Ja, den ska nog inte vara där. Men även med den borta så blir det ju fel svar.

Det gäller att

$\frac{2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1}{4} - \frac{1}{4 (2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1)} = x \sqrt{x^{2} + 1}$

För notera att

$2x^2 + 2x\sqrt{x^2 + 1} + 1 = x^2 + 2x\sqrt{x^2 + 1} + (x^2 + 1) = (x + \sqrt{x^2 + 1})^2$

Så nu är

$\frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - (x^{2} + 1)} = - x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Detta ger att

$(x + \sqrt{x^{2} + 1})^{2} - \frac{1}{(x + \sqrt{x^{2} + 1})^{2}} = (x + \sqrt{x^{2} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}) (x + \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}) = (x + \sqrt{x^{2} + 1} + x - \sqrt{x^{2} + 1}) (x + \sqrt{x^{2} + 1} - x + \sqrt{x^{2} + 1}) = 4 x \sqrt{x^{2} + 1}$

Men notera att du kan beräkna integralen på ett annat sätt

$\int \sqrt{x^{2} + 1} d x = x \sqrt{x^{2} + 1} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = x \sqrt{x^{2} + 1} - \int \frac{x^{2} + 1 - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = x \sqrt{x^{2} + 1} - \int \sqrt{x^{2} + 1} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Så vi får att

$2 \int \sqrt{x^{2} + 1} d x = x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + C$

Snyggt! Det sista "alternativa" sättet bygger på partiell integration och att "se" delarna man får när man deriverar $x \sqrt{x^{2} + 1}$ -- men det kanske är för trivialt för att nämnas :)

Hej!

Tänk på att substitutionen $t(x)$ ska vara en injektiv funktion, så att man kan lösa ut $x$ som funktion av $t$ ; den ska också vara en deriverbar funktion. Din substition är injektiv och deriverbar, så den går bra, notera att $t$ alltid är ett positivt tal, medan $x$ kan vara godtyckligt reellt tal.

Om $t = x + \sqrt{x^2+1}$ så är $x = 0.5t - 0.5t^{-1}$ och $\sqrt{x^2+1} = 0.5t + 0.5t^{-1}$ och derivatan är $x'(t) = 0.5+0.5t^{-2}$ så att integralen blir

$\int \sqrt{x^2+1}\,\text{d}x = \int (0.5t+0.5t^{-1})\cdot (0.5+0.5t^{-2})\,\text{d}t = 0.25 \int (t+t^{-1})(1+t^{-2})\,\text{d}t\ .$

Utveckla parenteserna för att få summan

$0.25(\int t\,\text{d}t + 2\int t^{-1}\,\text{d}t + \int t^{-3}\,\text{d}t) = 0.25(0.5t^{2} + 2\ln |t| - 0.5t^{-2})\ .$

Konjugatregeln ger att

$t^{2}-t^{-2} = (t+t^{-1})(t-t^{-1})\ ,$

och sedan är

$t^{-1} = \frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-x^2-1} = -(x-\sqrt{x^2+1})$

så att

$t+t^{-1} = x+\sqrt{x^2+1} - x + \sqrt{x^2+1} = 2\sqrt{x^2+1}$

och

$t-t^{-1} = 2x$

så att $0.5(t^2-t^{-2}) = 2x\sqrt{x^2+1}\ .$

En av de primitiva funktionerna är därför

$\int\sqrt{x^2+1}\,\text{d}x = 0.5\ln |x+\sqrt{x^2+1}| + 0.5 x\sqrt{x^2+1}\ .$

Albiki

Albiki skrev :
Om $t = x + \sqrt{x^2+1}$ så är $x = 0.5t - 0.5t^{-1}$

Hur såg ditt tankesätt ut när du kom fram till det?

Edit: Glöm det, insåg nu!

Svara

Visa senaste svar