6 svar
480 visningar
Stoffer behöver inte mer hjälp
Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2017 14:25

Primitiv funktion till funktion med rotuttryck

Beräkna samtliga primitiva funktioner till x2+1dx.

Lösning:

Låt t=x+x2+1x2+1=t-x.

x2+1=t2-2tx+x2x=t2-12tx2+1=t-x=t2+12tdxdt=t2+12t2

Då får vi att

x2+1dx=t2+12t·t2+12t2dt=(t2+1)24t3dt=t4+2t2+14t3dt==14t4t3+2t2t3+1t3dt=14t+21t+1t3dt==14t22+2·lnt-12·1t2+C=12lnt+t24+1-14t2+C==12lnx+x2+1+2x2+2xx2+1+14+1-142x2+2xx2+1+1+C

Men facit säger att svaret är

=12xx2+1+ln(x+x2+1)+C,

dvs:

12t2-12-t2-12t+lnt+C.

Förstår inte var jag gör fel.

PeBo 540
Postad: 30 dec 2017 15:00

Det känns lite som att det dyker upp en +1 i slutet av tredje raden efter "Då får vi att". Jag förstår inte var den kommer ifrån.

Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2017 15:10
PeBo skrev :

Det känns lite som att det dyker upp en +1 i slutet av tredje raden efter "Då får vi att". Jag förstår inte var den kommer ifrån.

Ja, den ska nog inte vara där. Men även med den borta så blir det ju fel svar.

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2017 15:15 Redigerad: 30 dec 2017 15:38

Det gäller att

2x2+2xx2+1+14-142x2+2xx2+1+1=xx2+1

För notera att

2x2+2xx2+1+1=x2+2xx2+1+(x2+1)=(x+x2+1)2 2x^2 + 2x\sqrt{x^2 + 1} + 1 = x^2 + 2x\sqrt{x^2 + 1} + (x^2 + 1) = (x + \sqrt{x^2 + 1})^2

Så nu är

1x+x2+1=x-x2+1x2-(x2+1)=-x+x2+1

Detta ger att

(x+x2+1)2-1(x+x2+1)2=x+x2+1-1x+x2+1x+x2+1+1x+x2+1=x+x2+1+x-x2+1x+x2+1-x+x2+1=4xx2+1

 

Men notera att du kan beräkna integralen på ett annat sätt

x2+1dx=xx2+1-x2x2+1dx=xx2+1-x2+1-1x2+1dx=xx2+1-x2+1dx+1x2+1dx

Så vi får att

2x2+1dx=xx2+1+ln(x+x2+1)+C

PeBo 540
Postad: 30 dec 2017 15:30

Snyggt! Det sista "alternativa" sättet bygger på partiell integration och att "se" delarna man får när man deriverar xx2+1 -- men det kanske är för trivialt för att nämnas :)

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2017 16:21

Hej!

Tänk på att substitutionen t(x) t(x) ska vara en injektiv funktion, så att man kan lösa ut x x som funktion av t t ; den ska också vara en deriverbar funktion. Din substition är injektiv och deriverbar, så den går bra, notera att t t alltid är ett positivt tal, medan x x kan vara godtyckligt reellt tal.

Om t=x+x2+1 t = x + \sqrt{x^2+1} så är x=0.5t-0.5t-1 x = 0.5t - 0.5t^{-1} och x2+1=0.5t+0.5t-1 \sqrt{x^2+1} = 0.5t + 0.5t^{-1} och derivatan är x'(t)=0.5+0.5t-2 x'(t) = 0.5+0.5t^{-2} så att integralen blir

    x2+1dx=(0.5t+0.5t-1)·(0.5+0.5t-2)dt=0.25(t+t-1)(1+t-2)dt . \int \sqrt{x^2+1}\,\text{d}x = \int (0.5t+0.5t^{-1})\cdot (0.5+0.5t^{-2})\,\text{d}t = 0.25 \int (t+t^{-1})(1+t^{-2})\,\text{d}t\ .

Utveckla parenteserna för att få summan

    0.25(tdt+2t-1dt+t-3dt)=0.25(0.5t2+2ln|t|-0.5t-2) . 0.25(\int t\,\text{d}t + 2\int t^{-1}\,\text{d}t + \int t^{-3}\,\text{d}t) = 0.25(0.5t^{2} + 2\ln |t| - 0.5t^{-2})\ .

Konjugatregeln ger att

    t2-t-2=(t+t-1)(t-t-1) , t^{2}-t^{-2} = (t+t^{-1})(t-t^{-1})\ ,

och sedan är

    t-1=x-x2+1x2-x2-1=-(x-x2+1) t^{-1} = \frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-x^2-1} = -(x-\sqrt{x^2+1})

så att

    t+t-1=x+x2+1-x+x2+1=2x2+1 t+t^{-1} = x+\sqrt{x^2+1} - x + \sqrt{x^2+1} = 2\sqrt{x^2+1}

och

    t-t-1=2x t-t^{-1} = 2x

så att 0.5(t2-t-2)=2xx2+1 . 0.5(t^2-t^{-2}) = 2x\sqrt{x^2+1}\ .

En av de primitiva funktionerna är därför

    x2+1dx=0.5ln|x+x2+1|+0.5xx2+1 . \int\sqrt{x^2+1}\,\text{d}x = 0.5\ln |x+\sqrt{x^2+1}| + 0.5 x\sqrt{x^2+1}\ .

Albiki

Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2018 13:39 Redigerad: 1 jan 2018 13:47
Albiki skrev :

Om t=x+x2+1 t = x + \sqrt{x^2+1} så är x=0.5t-0.5t-1 x = 0.5t - 0.5t^{-1}

Hur såg ditt tankesätt ut när du kom fram till det?

 

Edit: Glöm det, insåg nu!

Svara
Close