Primitiv funktion till funktion med rotuttryck
Beräkna samtliga primitiva funktioner till .
Lösning:
Låt .
Då får vi att
Men facit säger att svaret är
,
dvs:
.
Förstår inte var jag gör fel.
Det känns lite som att det dyker upp en +1 i slutet av tredje raden efter "Då får vi att". Jag förstår inte var den kommer ifrån.
PeBo skrev :Det känns lite som att det dyker upp en +1 i slutet av tredje raden efter "Då får vi att". Jag förstår inte var den kommer ifrån.
Ja, den ska nog inte vara där. Men även med den borta så blir det ju fel svar.
Det gäller att
För notera att
Så nu är
Detta ger att
Men notera att du kan beräkna integralen på ett annat sätt
Så vi får att
Snyggt! Det sista "alternativa" sättet bygger på partiell integration och att "se" delarna man får när man deriverar -- men det kanske är för trivialt för att nämnas :)
Hej!
Tänk på att substitutionen ska vara en injektiv funktion, så att man kan lösa ut som funktion av ; den ska också vara en deriverbar funktion. Din substition är injektiv och deriverbar, så den går bra, notera att alltid är ett positivt tal, medan kan vara godtyckligt reellt tal.
Om så är och och derivatan är så att integralen blir
Utveckla parenteserna för att få summan
Konjugatregeln ger att
och sedan är
så att
och
så att
En av de primitiva funktionerna är därför
Albiki
Albiki skrev :Om så är
Hur såg ditt tankesätt ut när du kom fram till det?
Edit: Glöm det, insåg nu!