Primitiv funktion till e^2x*sin(3x) med Eulers formel

Försöker hitta alla primitiva funktioner till $e^2\times \sin \left(3x\right)$

Jag försöker då göra detta med Eulers formel, dels för att det verkar lättast och dels för att bli bättre på den metoden.

Så här gör jag då:

$$\begin{gathered} e^{2x}\sin \left(3x\right) =\hspace{0.17em}{e}^{2x}\left(\frac{e^{3ix}-e^{-3ix}}{2}\right) = \frac{e^{(2+3i)x}-e^{(2-3i)x}}{2} \\ \int \frac{e^{(2+3i)x}-e^{(2-3i)x}}{2}dx =\hspace{0.17em}\frac{e^{(2+3i)x}}{2(2+3i)}-\frac{e^{(2-3i)x}}{2(2-3i)} = \frac{e^{2x}}{2}\left(\frac{e^{3ix}}{2+3i}-\frac{e^{-3ix}}{2-3i}\right) \\ = \frac{e^{2x}}{2}\left(\frac{e^{3ix}\left(2-3i\right)}{13}-\frac{e^{-3ix}(2+3i)}{13}\right) = \frac{e^{2x}}{2}\left(\frac{2e^{3ix}-2e^{-3ix}}{13}+\frac{-3i{e}^{3ix}-3i{e}^{-3ix}}{13}\right) \\ =\frac{e^{2x}}{2}\left(\frac{4i\sin \left(3x\right)}{13}-\frac{6i\cos \left(3x\right)}{13}\right)= \frac{e^{2x}\left(i\sin (3x\right)-3i\cos 3x)}{13} \end{gathered}$$

Jag skrev ut vartenda steg i hoppet om att det kanske är lättare att se hur jag gör ( vet inte om det kanske är lite onödigt långt ). Iallafall, enligt facit är svaret $\frac{e^{2x}\left(2\sin (3x\right)-3\cos 3x)}{13}$, alltså samma svar fast utan i-faktorn. Vad jag inte förstår är var denna i-faktor försvann? Jag ser inget fel jag gjort i min beräkning, och har stirrat här nu i evigheter utan att hitta var felet inträffar.