Primitiv funktion till 1/sin(7x)

Nämnaren är inte i form av (ax+b) för att du ska göra som du gjorde.

En metod(1) är att skriva om nämnaren till ((1/2)*sin(7x/2)*cos(7x/2)) och täljaren till (sin²(7x/2)+cos²(7x/2)).

En annan metod(2) för att lösa denna är att du gör  variabelbytet t=tan(7x/2) och formeln sin7x = $\frac{2\tan {\displaystyle \frac{7x}{2}}}{1+{\tan }^2\frac{7x}{2}}$.

Mohammad Abdalla skrev:

Nämnaren är inte i form av (ax+b) för att du ska göra som du gjorde.

En metod(1) är att skriva om nämnaren till ((1/2)*sin(7x/2)*cos(7x/2)) och täljaren till (sin²(7x/2)+cos²(7x/2)).

En annan metod(2) för att lösa denna är att du gör  variabelbytet t=tan(7x/2) och formeln sin7x = $\frac{2\tan {\displaystyle \frac{7x}{2}}}{1+{\tan }^2\frac{7x}{2}}$.

Jag hänger ej med på metod 2  och variabelbytet där?

$$\begin{gathered} I=\int \frac{1}{\sin \left(7x\right)}dx \\ t=\tan \left(\frac{7x}{2}\right) dt=? dx=? \\ Hur skriver du \sin \left(7x\right) uttryckt i t? Använd forme\ln i \#2 \\ I=\int ....?....dt \end{gathered}$$

Mohammad Abdalla skrev:

$$\begin{gathered} I=\int \frac{1}{\sin \left(7x\right)}dx \\ t=\tan \left(\frac{7x}{2}\right) dt=? dx=? \\ Hur skriver du \sin \left(7x\right) uttryckt i t? Använd forme\ln i \#2 \\ I=\int ....?....dt \end{gathered}$$

Om vi bara skriver om sin(7x) som dubbla vinkeln istället så blir det lättare för mig. Jag tror att det är där jag vill gå justnu, kan hända att vi kommer till tangens sen. Men hur skriver man sin(7x) till sin dubbla vinkeln?

Du menar metod 1:
$$\begin{gathered} \frac{1}{\sin \left(7x\right)}=\frac{1}{2\sin \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}=\frac{1}{2}\times \frac{co{s}^2\left(\frac{7x}{2}\right)+si{n}^2\left(\frac{7x}{2}\right)}{sin\left(\frac{7x}{2}\right)cos\left(\frac{7x}{2}\right)} \\ Vad händer om du använder att \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} ? \end{gathered}$$

Mohammad Abdalla skrev:

Du menar metod 1:
$$\begin{gathered} \frac{1}{\sin \left(7x\right)}=\frac{1}{2\sin \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}=\frac{1}{2}\times \frac{co{s}^2\left(\frac{7x}{2}\right)+si{n}^2\left(\frac{7x}{2}\right)}{sin\left(\frac{7x}{2}\right)cos\left(\frac{7x}{2}\right)} \\ Vad händer om du använder att \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} ? \end{gathered}$$

Ja precis metod 1. Jag vet ej faktiskt vad som händer. Det ser krångligt justnu. Vi får ta en sak i taget!

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{1}{2}\times (\frac{{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}+\frac{{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}) \\ \frac{{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}=\frac{\cos \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)\times \cancel{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cancel{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}}=\frac{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)} \\ \frac{{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}=? \\ f\left(x\right)=? \end{gathered}$$

Mohammad Abdalla skrev:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{1}{2}\times (\frac{{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}+\frac{{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}) \\ \frac{{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}=\frac{\cos \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)\times \cancel{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cancel{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}}=\frac{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)} \\ \frac{{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\sin \left(\frac{7x}{2}\right)\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}=? \\ f\left(x\right)=? \end{gathered}$$

Jag vet ej hur man integrerar tan och cot

Glöm inte 1/2 framför.

Okej!

Är du medveten att om f(x)=$\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\left(någonting\right)\text{'}}{någonting} så är F\left(x\right)=\ln \left|g\left(x\right)\right|+C$ ?

Mohammad Abdalla skrev:

Glöm inte 1/2 framför.

Okej!

Är du medveten att om f(x)=$\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\left(någonting\right)\text{'}}{någonting} så är F\left(x\right)=\ln \left|g\left(x\right)\right|+C$ ?

Nej inte riktigt. Har du ett exempel kanske?

$$\begin{gathered} 1) f(x)=\frac{1}{x} (Vi ser att täljaren = nämnarens derivata) så är F(x)=\ln \left|x\right|+C \\ 2) h\left(x\right)=\frac{2x+1}{x^2+x+7} så är F\left(x\right)=\ln \left|x^2+x+7\right|+C \\ 3) s(x)=\frac{e^x}{e^x+1} så är S(x)=\ln \left|e^x+1\right|+C=\ln (e^x+1)+C eftersom e^x är alltid positiv. \end{gathered}$$

Mohammad Abdalla skrev:

 

$$\begin{gathered} 1) f(x)=\frac{1}{x} (Vi ser att täljaren = nämnarens derivata) så är F(x)=\ln \left|x\right|+C \\ 2) h\left(x\right)=\frac{2x+1}{x^2+x+7} så är F\left(x\right)=\ln \left|x^2+x+7\right|+C \\ 3) s(x)=\frac{e^x}{e^x+1} så är S(x)=\ln \left|e^x+1\right|+C=\ln (e^x+1)+C eftersom e^x är alltid positiv. \end{gathered}$$

I exempel 2 och 3 har du ej med 2x+1 och e^x när du hittat primitiv funktion till dem. Var tog de vägen? Det står ej precis 1/(x^2+x+7) samt 1/(e^x+1)

Regeln säger att om täljaren är derivatan av nämnaren så är primitiva funktionen = ln$\left|bara nämnaren\right|$+C

Alltså hur deriverar du ln(x²+x+7) resp ln(e^x+1)?

Mohammad Abdalla skrev:

Alltså hur deriverar du ln(x²+x+7) resp ln(e^x+1)?

2x+1/(x^2+x+7) och e^x/(e^x+1)

Varför är det svaret fel?

Om vi börjar med

h(x)=tan($\frac{7x}{2}$)=$\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}$

för att vi ska använda regeln så måste täljaren vara nämnarens derivata. Hur deriverar du cos($\frac{7x}{2}$)?

Mohammad Abdalla skrev:

Om vi börjar med

h(x)=tan($\frac{7x}{2}$)=$\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}$

för att vi ska använda regeln så måste täljaren vara nämnarens derivata. Hur deriverar du cos($\frac{7x}{2}$)?

Det blir -sin(7x/2)*7/2

Precis!
Vi ser att täljaren inte är riktigt nämnarens derivata, då behöver vi skriva om h(x) så här

$h\left(x\right)=\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}=\frac{-2}{7}\times \frac{-\sin \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)\times \frac{7}{2}}{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}$

H(x)=$\frac{-2}{7}\ln \left|\cos \left(\frac{7x}{2}\right)\right|$

EDIT: +C såklart.

Mohammad Abdalla skrev:

Precis!
Vi ser att täljaren inte är riktigt nämnarens derivata, då behöver vi skriva om h(x) så här

$h\left(x\right)=\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)}{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}=\frac{-2}{7}\times \frac{-\sin \left({\displaystyle \frac{7x}{2}}\right)\times \frac{7}{2}}{\cos \left(\frac{7x}{2}\right)}$

H(x)=$\frac{-2}{7}\ln \left|\cos \left(\frac{7x}{2}\right)\right|$

EDIT: +C såklart.

Ja okej sen har vi gånger 1/2 också?

Japp.

Mohammad Abdalla skrev:

Japp.

Den verkar klaga tyvärr. Varför vet jag ej.

Du har glömt absolutbeloppet.

Sen kan du skriva det som (1/7)ln$\left|\tan (7x/2)\right|$.

Mohammad Abdalla skrev:

Du har glömt absolutbeloppet.

Sen kan du skriva det som (1/7)ln$\left|\tan (7x/2)\right|$.

Ja juste. Wow nu blev det riktigt!