Primitiv funktion som matris?

Är tyvärr inte jätteinsatt i linjär algebra eller analys ännu men som jag förstått det så kan man utföra derivering med hjälp av matrismultiplikation. Exempel: f'(x) = 5x³+3x²+x+7 skulle kunna beräknas på detta vis:

$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 7 \\ 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 15 \\ 0 \end{matrix}]$ , alltså 15x²+6x+1.

Finns det någon matris som skulle kunna ses som "inversen" utav den vänstra matrisen? Alltså som får fram den primitiva funktionen istället.

Intressant fråga. Obs att ditt exempel funkar eftersom polynomer är vektorfält och derivering av polynomer är en linjär operation, det gäller inte generellt.

Men man skulle kunna tänka sig primitiva funktionen som en linjär operation (representerad av en matrix) mellan t.ex. ett vektorfält med bas $\{1, x, x^2, x^3\}$ (alltså ett polynom av typen $dx^3 + cx^2 + bx + a$ ) till ett vektorfält med bas $\{1, x, x^2, x^3, x^4\}$ (alltså polynom av typen $ex^4 + dx^3 + cx^2 + bx + a$ ) som:

$(\begin{matrix} m 1 & m 2 & m 3 & m 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{matrix}) (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{matrix})$

Där $m1, m2...$ är fria (leder till olika konstanter till primitiva funktionen).

Svara