Primitiv funktion roten.

Hej!

Om vi gör så här: Vet du vad derivatan till $2^t$ är? Och det gäller även att $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$

Moffen skrev:

Hej!

Om vi gör så här: Vet du vad derivatan till $2^t$ är? Och det gäller även att $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$

 Ok det vet jag nu säger men det säger ingenting om deras svar som är...
$F\left(t\right)=\frac{2t^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{3}+\frac{2t}{\ln 2}+C$

det är det här.. .ser svårt ut och boken visar inget om denna delar så hur ska jag veta ?

En primitiv funktion $F$ till en funktion $f$ definieras som den funktion som uppfyller $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$.

Eftersom att du inte alls ville svara på min fråga kan jag åtminstone ge dig ett annat exempel.

$f\left(x\right)=2x^{\frac{3}{4}}+3^x$, och vi vill hitta en primitiv funktion $F$ till $f$.

Vi ser att på den första termen kan vi helt enkelt applicera regeln som säger att $f\left(x\right)=x^n \Rightarrow F\left(x\right)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ och alltså gäller det att den första termen i vår primitiva funktion är $2*\frac{x{\displaystyle \frac{7}{4}}}{{\displaystyle \frac{7}{4}}}$ som du får förenkla själv. För den andra termen vet vi att $\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=a^{x }\ln \left(a\right), a>0.$ Alltså är andra termen i vår primitiva funktion $\frac{3^x}{\ln \left(a\right)}$ (kom ihåg hur vi definierar en primitiv funktion, samt att $\frac{d}{dx}(c*f(x\left)\right)=c*\frac{d}{dx}\left(f\right(x\left)\right)$ om $c$ är en konstant). 

Hänger du med på facits svar nu?

Moffen skrev:

En primitiv funktion $F$ till en funktion $f$ definieras som den funktion som uppfyller $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$.

Eftersom att du inte alls ville svara på min fråga kan jag åtminstone ge dig ett annat exempel.

$f\left(x\right)=2x^{\frac{3}{4}}+3^x$, och vi vill hitta en primitiv funktion $F$ till $f$.

Vi ser att på den första termen kan vi helt enkelt applicera regeln som säger att $f\left(x\right)=x^n \Rightarrow F\left(x\right)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ och alltså gäller det att den första termen i vår primitiva funktion är $2*\frac{x{\displaystyle \frac{7}{4}}}{{\displaystyle \frac{7}{4}}}$ som du får förenkla själv. För den andra termen vet vi att $\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=a^{x }\ln \left(a\right), a>0.$ Alltså är andra termen i vår primitiva funktion $\frac{3^x}{\ln \left(a\right)}$ (kom ihåg hur vi definierar en primitiv funktion, samt att $\frac{d}{dx}(c*f(x\left)\right)=c*\frac{d}{dx}\left(f\right(x\left)\right)$ om $c$ är en konstant). 

Hänger du med på facits svar nu?

 Hänger inte med något jag blir snurring av alla F och massa matematiska tecken. Sen har du 3 uphöjt till x eller 3x? 

Till din första fråga jag vet att roten av kan skrivas med t^1/2 med det hjälper mig inte att lösa denna uppgift. 

Att det är en massa matematiska symboler när man håller på med matte hör liksom till saken, det kommer du aldrig ifrån. Men är det någon särskild notation som du inte förstår?

Jag hoppas att du förstod någonting alls av det Moffen skrev. Det handlar om två funktioner som är ganska lika dem i din fråga. Kan du citera hans inlägg och stryka under det som du förstod?

FLawLesS skrev:

 Hänger inte med något jag blir snurring av alla F och massa matematiska tecken. Sen har du 3 uphöjt till x eller 3x? 

Till din första fråga jag vet att roten av kan skrivas med t^1/2 med det hjälper mig inte att lösa denna uppgift. 

 Det är 3 upphöjt till x. Det som kanske var det viktigaste i min ursprungliga fråga var om du hade koll på derivatan av $f\left(x\right)=a^x$. Det finns egentligen inte så mycket att göra i din uppgift utom att identifiera vilka regler vi vill använda. Jag är ganska säker på att du kan hitta en reglerna för en primitiv funktion till $f\left(x\right)=a^x$ i din formelsamling till Ma3. 

Eftersom att jag inte riktigt kommer ihåg vad som ingår i Ma3 kanske den inte finns, då vill dom att du ska se att:

$a^x=e^{x*\ln \left(a\right)}$ och att $\frac{d}{dx}\left(e^{x*\ln \left(a\right)}\right)=e^{x\ln \left(a\right)}*\ln \left(a\right)=a^x*\ln \left(a\right)$ med hjälp av kedjeregeln. 

Du får gärna förtydliga vad det är du inte förstår. Det är en väldigt "elementär" uppgift du har där, och det bästa är nog att du läser på om primitiva funktioner och derivator till lite olika vanligt förekommande funktioner, exempelvis $e^x, a^x, \cos \left(x\right), \sin \left(x\right),$ polynom osv.

När man först lär sig om primitiva funktioner är det väldigt regelbaserat. "Med vissa funktioner gör man si och med vissa funktioner gör man så". Jag tycker själv att det är lite svårt att få någon mer generell överblick när man jobbar med primitiva funktioner när man bara arbetar utifrån givna regler, men du kan trösta dig med att man får lite bättre verktyg för att ta fram primitiva funktioner när man börjar med universitetsmatematiken.

I detta fall är det första vi behöver inse att vi kan dela upp funktionen i $\sqrt{t}$ och $2^t$ och ta fram primitiva funktioner var för sig. Det kan tyckas självklart att man skall kunna göra så, men det är en regel som alla andra att man kan dela upp två funktioner som adderas med varandra (notera att det inte går att göra samma sak med exempelvis multiplikation). Vi behöver alltså kunna ta fram derivatan till $\sqrt{t}$ och $2^t$. För att göra detta behöver vi känna till följande två regler:

• En primitiv funktion till $x^n$ är $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
• En primitiv funktion till $e^{kx}$ är $\dfrac{e^{kx}}{k}$

För att kunna applicera dessa två regler måste vi göra två finurliga omskrivningar, nämligen:

$\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$

och

$2^t=(e^{\ln(2)})^t=e^{\ln(2)t}$

Vi ser att på den första termen kan vi applicera $x^n$-regeln med $n=\frac{1}{2}$ och på den andra kan vi applicera $e^{kx}$-regeln med $k=\ln(2)$. Hänger du med på det?

Laguna skrev:

Att det är en massa matematiska symboler när man håller på med matte hör liksom till saken, det kommer du aldrig ifrån. Men är det någon särskild notation som du inte förstår?

Jag hoppas att du förstod någonting alls av det Moffen skrev. Det handlar om två funktioner som är ganska lika dem i din fråga. Kan du citera hans inlägg och stryka under det som du förstod?

$F\left(t\right)=\frac{2t^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{3}+\frac{2t}{\ln 2}+C$ vart kommer 2 ifrån i första delen? Sen har jag inte lärt mig när det är $C^x$ primitiva funkitoner. 

Så här gör jag... 

$f\left(t\right)=\sqrt{t}+2^t$

$F\left(t\right)=\frac{t^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}{3}+????$

$F(t)=\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$ och så har man förlängt täjaren och nämnaren med 2.