Primitiv funktion ln.

Hej!

Jag skall beräkna följande tal.

$\int_{0}^{1}$ (x^2 (1-x)^2) / (1+x^2).

Men efter en bit in i uträkningarna får jag problem när jag skall bestämma en primitiv funktion till:

2x / (x^ + 1) som skall bli ln(1+x^2).

Jag ser ju varför det blir just det svaret men jag förstår inte riktigt vart 2x tar vägen.

Jag har alltid haft svårt med att just göra primitiva funktioner till speciellt ln men tänkte ta tag i det en gång för alla nu. Jag har letat i boken och internet om primitiva funktioner till ln men där har man oftast behandlat väldigt basic tal där man bara har tex 1 i täljaren och en tacksam nämnare.

Frågeställning: Vad händer med 2x i denna uppgiften?

Bonus fråga: Hur ska man tackla ett tal när man ska bestämma primitiv till ln? Vilket tillvägagångssätt? Vad ska man börja leta/kolla på?

Tack på förhand.

Antar att det fallit bort en tvåa och du undrar över integralen:

$\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\ dx$

Här gäller det att inse att det vi har i täljaren, $2x$ , är derivatan av nämnaren! Då är det jätteenkelt att göra substitutionen $t=x^2+1$ med $dt=2x\ dx$ och få:

$\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\ dx=\int\frac{1}{t}\ dt=\ln\left|t\right|+C=$

Sätter vi tillbaka $t=x^2+1$ får vi:

$=\ln|x^2+1|+C=\ln(x^2+1)+C$

(Absolutbeloppet försvinner eftersom $x^2+1>0$ för alla $x\in\mathbb{R}$ )

Hänger du med på det?

Jag rekommenderar att du lär dig att se när du har "derivatan av nämnaren" i täljaren (eller nästan derivatan, i detta fall hade det även räckt med $x$ , men det hade blivit lite krångliga konstanter) eftersom det då är enkelt att göra en substitution som mynnar ut i en $1/t$ -integral, som vi vet blir $\ln|t|+C$ .

Svara