Primitiv funktion av sinus funktion (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

Varför skriver du inte $\int_{0}^{x} y d x = . . .$ ?

Om du sätter in Y(0) borde du få 425 liter (startvärdet), får du det? Vad är egentligen cos(0)?

Hur ser alltså Y ut egentligen?

Fredrikottenfelt skrev:
Nummer 42.
Jag har hittat den primitiva funktionen och påbörjat ekvationslösning för att få ut x. Men stöter på problem med cosinus eftersom värdet inte är definierat.

Har skissat upp en lösning. Lite kluddig.

Vad är Y, dvs stora Y?

Vart tog integrationsgränserna vägen?

Guggle skrev:
Om du sätter in Y(0) borde du få 425 liter (startvärdet), får du det? Vad är egentligen cos(0)?
Hur ser alltså Y ut egentligen?

Ja, det har jag skrivit :)

Cos(0) = 1, men det kan väl inte vara det som eftersöks?

Har fått den primitiva funktionen av y, men kanske har skrivit det lite otydligt 🤔

Affe Jkpg skrev:
Varför skriver du inte $\int_{0}^{x} y d x = . . .$ ?

För att jag inte vet om jag ska integrera eller ej. Finns inga integrationsgränser att ersätta x med? Eller hur tänker du?

Dessutom finns ett startvärde som måste inkluderas.

Yngve skrev:
Fredrikottenfelt skrev:
Nummer 42.
Jag har hittat den primitiva funktionen och påbörjat ekvationslösning för att få ut x. Men stöter på problem med cosinus eftersom värdet inte är definierat.

Har skissat upp en lösning. Lite kluddig.
Vad är Y, dvs stora Y?
Vart tog integrationsgränserna vägen?

Stora Y är den primitiva funktionen till y.

Är det meningen att jag ens ska integrera med gränsvärden? Tänkte att jag skulle lösa ut x genom att likställa den primitiva funktionen med 500.

Om 425 l är i cistern från början så återstår 75 l till alarmvärdet 500 l, vilket gör att jag ska likställa Y med 75?

Varför använder du inte normal notation med integraltecken inklusive gränser? Då skulle du få en mycket mer lättläst lösning.

Låt integralen gå från 0 till t och likställ dess värde med 75.

Det är integrationsgränser du borde ha med. Gränsvärden är något helt annat.

Förresten, har du ritat upp funktionen så att du vet vad det är du beräknar egentligen? Det är lätt att lura sig själv om man inte ritar - jag har inte ritat själv, så jag vet inte om man riskerar att bli lurad i just det här fallet.

Fredrikottenfelt skrev:

Cos(0) = 1, men det kan väl inte vara det som eftersöks?
Har fått den primitiva funktionen av y, men kanske har skrivit det lite otydligt 🤔

Du har skrivit:

Sen räknar du som om funktionen Y(x) skulle vara volymen syra i cisternen vid tiden x timmar efter midnatt.

Fast funktionen Y har du fått fram genom att integrera ett inflöde som räknas från klockan 06.

Det maximala värdet cos-funktionen kan anta är 1 som jag hintade om i mitt första inlägg, vad blir alltså maxvärdet av din funktion Y(x) (Ledning, det antas när cosfunktionen antar värdet -1). Kan din funktion Y någonsin nå 500 liter? Varför/Varför inte?

Ett enklare och mer rättframt sätt är att ställa upp integrationsgränserna från 0 (vid klockan 06) till T för inflödet.

Fredrikottenfelt skrev:
Affe Jkpg skrev:
Varför skriver du inte $\int_{0}^{x} y d x = . . .$ ?
För att jag inte vet om jag ska integrera eller ej. Finns inga integrationsgränser att ersätta x med? Eller hur tänker du?
Dessutom finns ett startvärde som måste inkluderas.

Uppgifterna 40 och 41 visar dig ett "mönster", som du ska tillämpa i uppgift 42.

Smaragdalena skrev:
Varför använder du inte normal notation med integraltecken inklusive gränser? Då skulle du få en mycket mer lättläst lösning.
Låt integralen gå från 0 till t och likställ dess värde med 75.
Det är integrationsgränser du borde ha med. Gränsvärden är något helt annat.
Förresten, har du ritat upp funktionen så att du vet vad det är du beräknar egentligen? Det är lätt att lura sig själv om man inte ritar - jag har inte ritat själv, så jag vet inte om man riskerar att bli lurad i just det här fallet.

Blev en kladdig redovisning. Tänkte att det liknade ett klassiskt deriveringsproblem. Men ritar upp på räknaren och gör en integral.

Affe Jkpg skrev:
Fredrikottenfelt skrev:
Affe Jkpg skrev:
Varför skriver du inte $\int_{0}^{x} y d x = . . .$ ?
För att jag inte vet om jag ska integrera eller ej. Finns inga integrationsgränser att ersätta x med? Eller hur tänker du?
Dessutom finns ett startvärde som måste inkluderas.
Uppgifterna 40 och 41 visar dig ett "mönster", som du ska tillämpa i uppgift 42.

Då ska jag se till att göra dem också. Ibland börjar jag bakifrån, men ser nu att det kanske inte alltid är lönt.

Guggle skrev:
Fredrikottenfelt skrev:

Cos(0) = 1, men det kan väl inte vara det som eftersöks?
Har fått den primitiva funktionen av y, men kanske har skrivit det lite otydligt 🤔
Du har skrivit:
Sen räknar du som om funktionen Y(x) skulle vara volymen syra i cisternen vid tiden x timmar efter midnatt.
Fast funktionen Y har du fått fram genom att integrera ett inflöde som räknas från klockan 06.
Det maximala värdet cos-funktionen kan anta är 1 som jag hintade om i mitt första inlägg, vad blir alltså maxvärdet av din funktion Y(x) (Ledning, det antas när cosfunktionen antar värdet -1). Kan din funktion Y någonsin nå 500 liter? Varför/Varför inte?
Ett enklare och mer rättframt sätt är att ställa upp integrationsgränserna från 0 (vid klockan 06) till T för inflödet.

Ställer upp en integral och integrerar med avseende på 0 och t. Återkommer!

Okej, så jag skrev om allt. Checkade funktionen i räknaren och den ser ut att stämma överens med problemets karaktär.

Jag satte den integrerade funktionen lika med -1 som guggle sa (se uträkning). Men det borde inte bli rätt eftersom svaret blir arccos(-2).

Jag ändrade och likställde med 1 och fick t=6. Då tolkar jag det som att vid 06.00 finns som mest syra. Men sedan bör jag likställa med 75 för att få ut tiden då larmet slås på. När skall jag göra det?

Svaret ska bli klockan 13.12.

Tack för all feedback!

Edit: Ser att jag gjort ett teckenfel vid 180/pi. Har åtgärdat detta, men förändrade ej något.

Neej,

Jag sa att du skulle undersöka vad din ursprungliga funktion Y fick för maxvärde. Min förhoppning var att du då skulle inse att ditt felaktiga Y gav ett maxvärde på 482 liter i cisternen samt att du skulle förstå varför du inte kan påstå att din funktion Y är antalet liter i tanken när du beräknat det från ett inflöde.

Din funktion Y kan ju aldrig nå 500 liter om dess maxvärde är 482 liter.

Det var inte tänkt att du skulle använda maxvärdet på något annat sätt än att kontrollera hur din (felaktiga) funktion uppförde sig.

Sen gav jag dig tipset att ställa upp ekvationen

$\displaystyle 75=\int_0^T 15\sin(\frac{\pi x}{12})\,dx$

Vilken har flera periodiska lösningar, den första positiva lösningen inträffar då $T\approx 7.2h$ .

Guggle skrev:
Neej,
Jag sa att du skulle undersöka vad din ursprungliga funktion Y fick för maxvärde. Min förhoppning var att du då skulle inse att ditt felaktiga Y gav ett maxvärde på 482 liter i cisternen samt att du skulle förstå varför du inte kan påstå att din funktion Y är antalet liter i tanken när du beräknat det från ett inflöde.
Din funktion Y kan ju aldrig nå 500 liter om dess maxvärde är 482 liter.
Det var inte tänkt att du skulle använda maxvärdet på något annat sätt än att kontrollera hur din (felaktiga) funktion uppförde sig.
Sen gav jag dig tipset att ställa upp ekvationen
$\displaystyle 75=\int_0^T 15\sin(\frac{\pi x}{12})\,dx$
Vilken har flera periodiska lösningar, den första positiva lösningen inträffar då $T\approx 7.2h$ .

Haha åh, jag känner mig så dum just nu. Fick fram maxvärdet på ca. 57 men insåg nu när du skrev det att 425+57=482 liter. Maxvärdet du skrivit ett flertal gånger, haha.

Låt oss ta det en gång för alla.

1. Jag integrerar med avseende på 0 och t för att få fram den primitiva funktionen.

2. Jag likställer med 75 för att få ut t.

Läste igenom allt en gång till och förstod nu motiveringen att om jag inte integrerar från 0 till t så kommer tidräkningen att baseras på x timmar efter midnatt.

Men fråga: När det handlar om tid som startar vid kl. 00 eller kl. 12. Kan jag då göra en primitiv funktion som jag gjorde först eller skall man i samtliga liknande fall använda en integral?

Tusen tack för hjälpen till er alla :)

Blev nyss förnedrad av min räknare som var inställd på grader och ej radianer :^)

Fredrikottenfelt skrev:

Haha åh, jag känner mig så dum just nu. Fick fram maxvärdet på ca. 57 men insåg nu när du skrev det att 425+57=482 liter. Maxvärdet du skrivit ett flertal gånger, haha.
Låt oss ta det en gång för alla.
1. Jag integrerar med avseende på 0 och t för att få fram den primitiva funktionen.
2. Jag likställer med 75 för att få ut t.
Läste igenom allt en gång till och förstod nu motiveringen att om jag inte integrerar från 0 till t så kommer tidräkningen att baseras på x timmar efter midnatt.
Men fråga: När det handlar om tid som startar vid kl. 00 eller kl. 12. Kan jag då göra en primitiv funktion som jag gjorde först eller skall man i samtliga liknande fall använda en integral?
Tusen tack för hjälpen till er alla :)

Det viktiga här är att du förstår följande:

$y(x)$ beskriver flödet (genom påfyllningsröret) i liter/timme vid tidpunkten x.

Om du vill ta reda på totalvolymen som strömmat (genom påfyllningsröret) mellan tidpunkterna $x_1$ och $x_2$ så får du det genom att integrera $y(x)$ från $x_1$ till $x_2$ .

Är du med på det?

Då kan du nog lista ut svaret på dina frågor.

-------

Det här är helt analogt med att du får fram tillryggalagd sträcka mellan tidpunkt $t_1$ och $t_2$ om du integrerar hastighetsfunktionen $v(t)$ från $t_1$ till $t_2$ .

Hej!

Vid tidpunkten $x$ timmar efter klockan 06:00 innehåller cisternen $V(x)$ liter vätska, där

$\displaystyle V(x) = 425 + \int_0^{x} y(x) dx$ .

Vid tidpunkten $T$ innehåller cisternen 500 liter vätska för första gången. Det betyder att tidpunkten $T$ är det minsta positiva tal som är sådant att

$\displaystyle 500 = 425 + \int_{0}^{T}y(x)dx \Leftrightarrow 75 = \int_{0}^{T}y(x)dx$ .

Med vätskeflödet $y(x) = 15 \sin \frac{\pi x}{12}$ liter per timma blir integralen

$\displaystyle\int_{0}^{T} y(x) dx = 15\int_{0}^{T}\sin \frac{\pi x}{12} dx = \frac{15\cdot 12}{\pi} [\cos \frac{\pi x}{12}]_{T}^{0}$ liter.

Det gäller att finna det minsta positiva tal $T$ som är sådant att

$\displaystyle 5=\frac{12}{\pi}(1-\cos\frac{\pi T}{12})$ ,

där jag använt att $75 = 5 \cdot 15$ ; det minsta positiva tal som uppfyller denna ekvation ligger i närheten av $7,2.$

Det betyder att larmet ljuder för första gången klockan 13:12.

Löste talet i eftermiddags!

Tack för alla inputs dock. Ska läsa igenom allt igen imorgon 😊 Uppskattar eran hjälp.