Primitiv funktion

Genom grafen och koordinatsystemet ska du försöka ange parametrarna a, b och c till ekvationen för en parabel:

     $F\left(x\right)=a{x}^2+bx+c.$

Hur kan du göra det? Vad är a, b och c och hur representeras dessa konstanter visuellt i figuren?

Kan du kanske använda dig av den primitiva funktionen? 

Förstår inte hur jag ska veta vad a, b och c ska ha för värden? Förstår inte heller hur jag ska använda primitiv funktion när jag inte har någon ekvation. Det enda jag kunde hitta var att symmetrilinjen är x=1. Och kanske att lutningen är k=8x och k=-8x. Känns som att jag inte riktigt är på rätt spår. 

Jag håller med Dr.G. Försök att avläsa funktionsvärden på F(x) direkt. Jag tror att problemgivaren har tänkt så.

Det vanliga, när du skall räkna ut en integral, är att du har en funktion (eller en graf som visar själva funktionen), och att du integrerar funktionen, får fram den primitiva funktionen och beräknar integralen som (värdet av primitiva funktionen i ena änden) - (värdet av primitiva funktionen i andra änden). Men i den här uppgiften har du en graf som föreställer den primitiva funktionen. Det här är en sån där "hemsk" uppgift som testar om man har förstått, inte om man kan räkna.

AnnaVedgren skrev :

Förstår inte hur jag ska veta vad a, b och c ska ha för värden? Förstår inte heller hur jag ska använda primitiv funktion när jag inte har någon ekvation. Det enda jag kunde hitta var att symmetrilinjen är x=1. Och kanske att lutningen är k=8x och k=-8x. Känns som att jag inte riktigt är på rätt spår. 

Värdet på $c$ är det y-värde där parabeln skär y-axeln, alltså $c=4$. Du har en symmetrilinje $x=-1$ och eftersom parabeln är ett "berg" så betyder det att $a<0$ som i sin tur medför att $b=-2$. Du har nu den primitiva funktionen

     $F\left(x\right)=a{x}^2-2x+4.$

Du kan nu ta fram $a$ genom att trycka in en punk på parabeln, t.ex. maxpunkten $\left(-1,5\right)$. Det ger då

     $F\left(-1\right)=a{\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)+4=5\iff a=-1.$

Alternativt kan du direkt derivera $F\left(x\right)$ och sätta in $x=-1$ eftersom du vet att lutningen där är 0. Alltså:

     $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)=2ax-2\Rightarrow F\text{'}(-1)=f(-1)=2ax-2=0\iff a=-1.$

Parabelns ekvation är därmed

     $F\left(x\right)=-x^2-2x+4=\int f\left(x\right)dx.$

Detta var bara för att visa hur du kan ta reda på a,b, c. Det går snabbast och det är lämpligast att inse att du redan har fått den primitiva funktionen till f(x) gratis och kan bara använda analysens fundamentalsats för att räkna ut integralen mellan -4 och 1. $F\left(1\right)-F\left(4\right)=1-(-4)=1+4=5.$