Primitiv Funktion

För rationella funktioner innehållande sin(u) eller cos(u) fungerar substitutionen

t = tan(u/2)

Känns det igen?

Dr. G skrev :

För rationella funktioner innehållande sin(u) eller cos(u) fungerar substitutionen

t = tan(u/2)

Känns det igen?

Nope tack för tipset kan försöka med den. 

Möjligen blir det enklare att först skriva om

1 - cos(4x) = 2*sin(2x)^2

EDIT: och då klarar man sig utan den föreslagna substitutionen om man vet derivatan av

1/tan(u)

Eftersom $1-\cos(4x)=1-(\cos^2(2x)-\sin^2(2x))=2\sin^2(2x)$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{1-\cos(4x)}=\int \frac{\mathrm{d}x}{2\sin^2(2x)}=\begin{Bmatrix}t&=&\cot(2x)\\\mathrm{d}t&=& -\frac{2}{\sin^2(2x)}\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=-\frac{1}{4}\int \mathrm{d}t=$

$=-\frac{1}{4}t=-\frac{1}{4\tan(2x)}$

Guggle skrev :

Eftersom $1-\cos(4x)=1-(\cos^2(2x)-\sin^2(2x))=2\sin^2(2x)$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{1-\cos(4x)}=\int \frac{\mathrm{d}x}{2\sin^2(2x)}=\begin{Bmatrix}t&=&\cot(2x)\\\mathrm{d}t&=& -\frac{2}{\sin^2(2x)}\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=-\frac{1}{4}\int \mathrm{d}x=$

$=-\frac{1}{4}t=-\frac{1}{4\tan(2x)}$

Tackar. (y) Men vart kommer det trigonometriska sambandet ifrån?  Verkar vara något annat än trigonometriska ettan. 

Cosinus för "dubbla vinkeln" följer från additionssatsen

$\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)$, låt u=v

$\cos(2u)=\cos^2(u)-\sin^2(u)$

Slutligen utnyttjar vi den trigonometriska ettan. $1=\cos^2(2x)+\sin^2(2x)$

Guggle skrev :

Cosinus för "dubbla vinkeln" följer från additionssatsen

$\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)$, låt u=v

$\cos(2u)=\cos^2(u)-\sin^2(u)$

Slutligen utnyttjar vi den trigonometriska ettan. $1=\cos^2(2x)+\sin^2(2x)$

Tackar. Är dock lite osäker på hur stegen går till. Kan man tänka så här? 

$\frac{1}{1-\cos \left(4x\right)} = \frac{1}{2{\sin }^2\left(2x\right)}$

Formel:$\int \frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)}= -\frac{1}{\tan {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}$

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\sin }^2\left(u\right)}= - \frac{1}{2\tan \left(u\right)}$

Det jag är osäker är på hur ska man tänka när u = 2x för 1/tan(u)?

Är det liknande tänk som när tar $\int \cos \left(kx\right) = \frac{\sin kx}{k}+ C$ Alltså att man dividerar med konstanten före x?  Det blir ju rätt svar om man tänker så här men funkar det allmänt eller är det en slump i det här fallet? 

Ja, du kan göra så och du har rätt formel, men du måste vara noga när du går från dx till du:

$\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sin^2(2x)}=\begin{Bmatrix}u&=&2x\\ du&=&2 dx\end{Bmatrix}=\frac{1}{4}\int \frac{du}{\sin^2(u)}=-\frac{1}{4}\cot(u)$

Du kan också "förlänga" med en extra 2:a direkt för att kompensera för den inre derivatan som cot lämnar ifrån sig om du inte vill gå över substitutionen u. På samma sätt som sin(kx) lämnar ifrån sig ett extra k (inre derivata) i ditt exempel:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\cot(2x)\right)=-\frac{1}{\sin^2(2x)}\cdot2$

Edit: sen en allmän fråga, du läser väl matematik på högskolenivå?

Flyttade din tråd till högskolematte. Vi skall inte skrämma dem som läser Ma4 - den kursen är inte så här svår! /moderator

Smaragdalena skrev :

Flyttade din tråd till högskolematte. Vi skall inte skrämma dem som läser Ma4 - den kursen är inte så här svår! /moderator

Okej ber om ursäkt. Hade tidigare postat en tråd på samma tema i högskolem men då blev den flyttad till Ma4 Integraler. Ska försöka bedöma vart det ska postas efter svårighetsgrad hädanefter.