Primitiv funktion

ser du att x² är derivatan av exponenten ? 

Det går att utnyttja om du tänker dig att den primitiva är en sammansatt funktion

Jag förstår inte riktigt, kan du förklara mer?

Om man deriverar delen $e^{x^3+5}$så får man f'(x) här. Anledningen till att man gör så är för att vid en derivering så är exponentialdelen alltid oförändrad. Observerar man den inre derivatan (som blir för x^3+5) så får man x^2. Alltså blir den funktionen f som ger derivatan f'(x) då $e^{x^3+5}$.

Aha okej nu förstår jag att det är e^{x^3+5} jag ska tänka på. Men hur kommer man fram till en primitiv funktion av något med en sådan exponent?

Man får nyttja kedjeregeln. Det gäller att f'(x)=g'(h(x))h'(x) för f(x)=g(h(x)). I fallet så kan man få ut att h(x)=x^3+5 och då h'(x)=3x^2 som inre funktion respektive inre derivata. Har också g(z)=e^z=g'(z) som en yttre funktion. (I förra inlägget skrev jag att svaret blev $e^{x^3+5}$ men svaret blir $\frac{e^{x^3+5}}{3}$ pga den inre derivatan :(

Jag förstår inte riktigt hur det ska divideras på 3 i slutgiltigt svar

Ett sätt att göra detta på som kräver lite mer krångel (om man inte ser direkt vad svaret är) är ett variabelbyte. Vi låter $x^3+5=u$. Det följer att $3x^2\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$. Vi börjar skriva upp integralen:

$\displaystyle \int_{}^{}x^2e^{x^3+5}\mathrm{d}x$

Nu förlänger vi med $3/3$:

$\displaystyle = \frac{1}{3}\int_{}^{}3x^2e^{x^3+5}\mathrm{d}x$

Nu kan vi stoppa in $u$ istället för $x$:

$\displaystyle \frac{1}{3}\int_{}^{}3x^2e^{x^3+5}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int_{}^{}e^u\mathrm{d}u=\frac{1}{3}e^u+C=\frac{1}{3}e^{x^3+5}+C$

Där ser du även varifrån $3$ i nämnaren kommer. Vi behövde den för att kunna köra kedjeregeln "baklänges".