Primitiv funktion

Smith skrev :

Hej! hur hittar man primitiv funktion till :)

(e upphöjt till x som är upphöjt till 2 ) + 2x :)

${\mathit{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x}$ ?

Ja precis 

Smith skrev :

Ja precis 

$$\begin{gathered} \mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x} \\ \mathit{p}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{m}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{i}\mathit{v}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{C} \end{gathered}$$

Min uppfattning är att det inte går att hitta en primitiv funktion till den så lätt, varför ska du ha en primitiv funktion till den ? 

Jag arbetar med integraler och där ska man hitta primitiva funktioner...?

Smith skrev :

Jag arbetar med integraler och där ska man hitta primitiva funktioner...?

Ja, men jag tänkte att uppgiften var att man skulle integrera något med den funktionen och att du därmed försökte finna en primitiv funktion till den.   
Ska man bara hitta en primitiv funktion till $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x}$  är det allt uppgiften handlar om? 

oj insåg nyss att det är (e upphöjt till x + 2 ) + 2x 

Smith skrev :

oj insåg nyss att det är (e upphöjt till x + 2 ) + 2x 

$\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x}$
$\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{C}$

MattePapput skrev :

Min uppfattning är att det inte går att hitta en primitiv funktion till den så lätt, varför ska du ha en primitiv funktion till den ? 

Eller om man är bekant med kedjeregeln så kan man se primitiva funktionen till denna också. $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x}$
$\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}}{\mathbf{2}\mathbf{x}}\mathbf{+}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{C}$

Har ni gått igenom Kedjeregeln än? 

@MattePapput, testa derivera den där primitiva funktionen, du kommer märka att den inte stämmer.

Man kan inte skriva ned en primitiv funktion till $e^{x^2}$ på något lämpligt sätt (med elementära funktioner).

Du har fel Mattepapput. Det finns ingen primitiv funktion till $e^{x^2}$. 

Deriverar du $\dfrac{e^{x^2}}{2x}$ så får du $\dfrac{2e^{x^2}-4x^2e^{x^2}}{4x^2}$ som inte är $e^{x^2}$

woozah skrev :

Du har fel Mattepapput. Det finns ingen primitiv funktion till $e^{x^2}$. 

Finns gör de, de är

$F\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}C + {\int }_0^x{e}^{t^2}dt$

Problemet är att man inte kan skriva ned dem på något "bättre" sätt.

Stokastisk skrev :

@MattePapput, testa derivera den där primitiva funktionen, du kommer märka att den inte stämmer.

Man kan inte skriva ned en primitiv funktion till $e^{x^2}$ på något lämpligt sätt (med elementära funktioner).

$$\begin{gathered} \mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}}{\mathbf{2}\mathbf{x}}\mathbf{+}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{C} \\ \mathit{F}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{·}\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x} \end{gathered}$$ Yttre derivata multiplicerat med innre. 

Stokastisk skrev :

woozah skrev :

Du har fel Mattepapput. Det finns ingen primitiv funktion till $e^{x^2}$. 

Finns gör de, de är

$F\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}C + {\int }_0^x{e}^{t^2}dt$

Problemet är att man inte kan skriva ned dem på något "bättre" sätt.

Ja, men nu pratar vi om så pass enkel matematik att man lika gärna kan säga att det inte finns någon, tills de stöter på nödvändigheten av att hitta den. Så jag anpassade helt enkelt svaret.

MattePapput skrev :

Stokastisk skrev :

@MattePapput, testa derivera den där primitiva funktionen, du kommer märka att den inte stämmer.

Man kan inte skriva ned en primitiv funktion till $e^{x^2}$ på något lämpligt sätt (med elementära funktioner).

$$\begin{gathered} \mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}}{\mathbf{2}\mathbf{x}}\mathbf{+}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{C} \\ \mathit{F}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{·}\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x} \end{gathered}$$ Yttre derivata multiplicerat med innre. 

Du måste använda kvotregeln.

Stokastisk skrev :

@MattePapput, testa derivera den där primitiva funktionen, du kommer märka att den inte stämmer.

Man kan inte skriva ned en primitiv funktion till $e^{x^2}$ på något lämpligt sätt (med elementära funktioner).

Fel av mig. Det första jag skrev stämmer $\mathit{p}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{m}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{i}\mathit{v}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{e}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{C}$  som sagt det är inte lätt att hitta en primitiv till denna.    Förvirrade mig själv. 

Kvotregeln

$\frac{d}{dx}\frac{e^{x^2}}{2x}=\frac{2x{e}^{x^2}·2x-2e^{x^2}}{(2x{)}^2}=\frac{(4x^2-2)e^{x^2}}{4x^2}$

EDIT - redan sagt

Yngve skrev :

Nej det stämner inte. Använd kvotregeln för att derivera första termen i F(x).

Det blir inte e^(x^2).

Jag vet, fel av mig. 

jag skrev fel (jag skrev det tidigare också.. borde nog redigera mitt huvudinlägg my fault) men hur hittar man primitiv till funktionen e upphöjt till (2+x) + 2x? Kan ni förklara med steg? :)

MattePapput skrev :

Jag vet, fel av mig. 

No problemo MattePapput. :-)

Smith skrev :

jag skrev fel (jag skrev det tidigare också.. borde nog redigera mitt huvudinlägg my fault) men hur hittar man primitiv till funktionen e upphöjt till (2+x) + 2x? Kan ni förklara med steg? :)

Precis på samma sätt som du hittar en primitiv till $e^x$, klarar du det?

blir det (e upphöjt till 2+x/ 2+x ) + x²

Smith skrev :

jag skrev fel (jag skrev det tidigare också.. borde nog redigera mitt huvudinlägg my fault) men hur hittar man primitiv till funktionen e upphöjt till (2+x) + 2x? Kan ni förklara med steg? :)

Ingen fara.   För att hitta en primitiv funktion till $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x}$ så tar du en term i taget, tänk "vad ska man derivera för att få den termen och den termen"    vi börjar med den enklaste, $\mathbf{2}\mathit{x}$ vad ska man derivera för att få 2x ?    
Sedan, ${\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}$ vaad ska man derivera för att få den? 

Du bör känna till kedjeregeln. 
Eller så gör du som Stokastisk visar nedan genom att faktorisera. 

EDIT: redigerade, det såg förfärligt ut innan. 

MattePapput skrev :

Smith skrev :

jag skrev fel (jag skrev det tidigare också.. borde nog redigera mitt huvudinlägg my fault) men hur hittar man primitiv till funktionen e upphöjt till (2+x) + 2x? Kan ni förklara med steg? :)

Ingen fara.   $$\begin{gathered} \mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x} \\ {\mathit{e}}^{\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{y}\mathit{t}\mathit{t}\mathit{r}\mathit{e}\mathbf{ }\mathit{f}\mathit{u}\mathit{n}\mathit{k}\mathit{t}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{n}\mathbf{ }{\mathit{e}}^{\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{i}\mathit{n}\mathit{n}\mathit{r}\mathit{e}\mathbf{ }\mathit{f}\mathit{u}\mathit{n}\mathit{k}\mathit{t}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)} \\ \mathit{k}\mathit{e}\mathit{d}\mathit{j}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{g}\mathit{e}\mathbf{ln}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathit{I}\mathit{n}\mathit{n}\mathit{r}\mathit{e}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{v}\mathit{a}\mathit{t}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{u}\mathit{l}\mathit{t}\mathit{i}\mathit{p}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{c}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{e}\mathit{d}\mathbf{ }\mathit{y}\mathit{t}\mathit{t}\mathit{r}\mathit{e}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{v}\mathit{a}\mathit{t}\mathit{a} \\ \mathit{g}\mathit{e}\mathit{r}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }{\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}\mathbf{·}\mathbf{1}\mathbf{ } \\ \mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}\mathbf{·}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{C} \end{gathered}$$

fast är inte det där med inre och yttre derivata?  nu är jag förvvirad.. woozahs sa som e upphöjt till x, och då kom jag på  att e upphöjt till x är e upphöjt till x/1

Det gäller att

$e^{x + 2} = e^x e^2$

Nu är ju $e^2$ bara en vanlig konstant, och $e^x$ är en primitiv funktion till $e^x$. Därför är

$e^2 e^x = e^{x + 2}$

en primitiv funktion till $e^{x + 2}$. Sedan är $x^2$ en primitiv funktion till $2x$. Därför får man att de primitiva funktionera är

$e^{x + 2} + x^2 + C$

Förstår inte stokastik detta med e² * e upphöjt t x, så du menar man ska hitta primitiv till varsin och slå i hop? för då blir de ju e upphöjt till 2x och e upphöjt till x.... nu är jag väldigt förrvirad ursäkta mig. 

för du säger e upphöjt till 2 är en vanligt konstant då bör det ju blir e upphöjt till 2x... :O

Smith skrev :

Förstår inte stokastik detta med e² * e upphöjt t x, så du menar man ska hitta primitiv till varsin och slå i hop? för då blir de ju e upphöjt till 2x och e upphöjt till x.... nu är jag väldigt förrvirad ursäkta mig. 

 

för du säger e upphöjt till 2 är en vanligt konstant då bör det ju blir e upphöjt till 2x... :O

Låtsas att du har $\mathbf{2}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}$  då är derivatan till det $\mathbf{2}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}$  faktorisera uttrycket. ${\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{2}}\mathbf{·}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}$  så därför är derivatan till detta även ${\mathit{e}}^{\mathbf{2}}\mathbf{·}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}$

Om vi jämför med att hitta en primitiv funktion till $5x$. Vi vet ju att $\frac{x^2}{2}$ är en primitiv funktion till $x$, sedan är 5 bara en konstant framför.

Därför får man att $5\frac{x^2}{2}$ är en primitiv funktion till $5x$.

På samma sätt så har du ju att $e^2$ är en konstant, och att $e^x$ är en primitiv funktion till $e^x$. Därför är $e^2 e^x = e^{x + 2}$ en primitiv funktion till $e^{x + 2}$. Testa att derivera den för att se att det stämmer.

Jag tror att det enklaste är att prova sig fram.

Gissa en primitiv funktion F(x), derivera den och se på vilka sätt F'(x) skiljer sig från f(x).

Om F'(x) = f(x) så är du klar. Annars försöker du anpassa F(x) baserat på jämförelsen och kör ett varv till.

Exempel:

Hitra en primitiv funktion F(x) till funktionen f(x) = 2*e^(3x).

Eftersom derivatan av e^(nånting) är e^(nånting) gånger "nånting annat", dvs den "behåller formen" så gör vi följande

Gissning: F(x) = 2*e^(3x). Då är F'(x) = 2*e^(3x)*3 = 6*e^(3x).

F'(x) är alltså 3 gånger så stor som f(x).

Vi kompenserar detta genom att göra F(x) en tredjedel så stor.

Ny gissning: F(x) = (2/3)*e^(3x). Då är F'(x) = (2/3)*e^(3x)*3 = 2*e^(3x).

F'(x) är alltså lika med f(x).

Då har vi hittat en primitiv funktion till f(x).

Tror jag förstår vad ni menar.  Kan ni ge räknefråga så att jag provar min förståelse för detta

Smith skrev :

Tror jag förstår vad ni menar.  Kan ni ge räknefråga så att jag provar min förståelse för detta

Hitta en primitiv funktion till $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}{\mathit{e}}^{\mathbf{ln}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}}$

Oj där prövades mina kunskaper rejält! e upphöjt lnx * e upphöjt 5 = e upphöjt till lnx är x.. då blir det e upphöjt till 5* 5 * x²/2 

Smith skrev :

Oj där prövades mina kunskaper rejält! e upphöjt lnx * e upphöjt 5 = e upphöjt till lnx är x.. då blir det e upphöjt till 5* 5 * x²/2 

Fel. Nästan rätt. 

MattePapput skrev :

Smith skrev :

Oj där prövades mina kunskaper rejält! e upphöjt lnx * e upphöjt 5 = e upphöjt till lnx är x.. då blir det e upphöjt till 5* 5 * x²/2 

Fel. Nästan rätt. 

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}{\mathit{e}}^{\mathbf{ln}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{·}{\mathit{e}}^{\mathbf{5}} \\ \mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{·}{\mathbf{e}}^{\mathbf{5}}}{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

Tack nu förstår jag!

Smith skrev :

Tack nu förstår jag!

Varsågod. Det var en bra uppgift :D 

En till uppgift: Hitta en primitiv funktion F(x) till f(x) = sin(2x + 3) + cos(x/2)

Oj den var faktiskt svår. :O

Yngve skrev :

En till uppgift: Hitta en primitiv funktion F(x) till f(x) = sin(2x + 3) + cos(x/2)

-cos(2x+3)/ 2  + sin(x/2)/0.5

Smith skrev :

Yngve skrev :

En till uppgift: Hitta en primitiv funktion F(x) till f(x) = sin(2x + 3) + cos(x/2)

-cos(2x+3)/ 2  + sin(x/2)/0.5

är detta rätt yngve ^

Ja det är rätt, snyggt.

Smith skrev :

Smith skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

En till uppgift: Hitta en primitiv funktion F(x) till f(x) = sin(2x + 3) + cos(x/2)

-cos(2x+3)/ 2  + sin(x/2)/0.5

är detta rätt yngve ^

Bra. Använde du "gissa-derivera-justera"-metoden jag föreslog?

Yngve skrev :

Smith skrev :

Visa föregående citat

Smith skrev :

Yngve skrev :

En till uppgift: Hitta en primitiv funktion F(x) till f(x) = sin(2x + 3) + cos(x/2)

-cos(2x+3)/ 2  + sin(x/2)/0.5

är detta rätt yngve ^

Bra. Använde du "gissa-derivera-justera"-metoden jag föreslog?

Ja, för först trodde jag att det skulle bli -cos(2x+3)/2x+3 men när man deriverar blir det ju fel, så provade med -cos(2x+3)/2 istället och då funkade det! :)

Smith skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Smith skrev :

Smith skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

En till uppgift: Hitta en primitiv funktion F(x) till f(x) = sin(2x + 3) + cos(x/2)

-cos(2x+3)/ 2  + sin(x/2)/0.5

är detta rätt yngve ^

Bra. Använde du "gissa-derivera-justera"-metoden jag föreslog?

Ja, för först trodde jag att det skulle bli -cos(2x+3)/2x+3 men när man deriverar blir det ju fel, så provade med -cos(2x+3)/2 istället och då funkade det! :)

Bra. Lägg ner den metoden i din verktygslåda och belöna dig själv med något!