Primitiv funktion

Skriv om på potensform: $\frac{1}{\sqrt{1+z}}={(1+z)}^{-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$

Sedan kan du hitta den primitiva som en vanlig potensfunktion. 

Hej Moa,

Derivatan av $\ln(\sqrt{1+z})$ är $\frac{1}{\sqrt{1+z}}\frac{1}{2\sqrt{1+z}}=\frac{1}{2(1+z)}$

Om du däremot deriverar $2\sqrt{1+z}$ får du $\frac{1}{\sqrt{1+z}}$

Det jag tror du missar med din ln är att den ger en inre derivata från rotfunktionen också.

Tusen tack! Så det är typ endast vid 1/x man kan tänka direkt att den primitiva funktionen blir ln(x) och annars är det bättre att göra om det till en potens?

Mja, lite så, men det här är mer generellt än något som bara handlar om ln(x). Det kritiska är det som Jroth nämner, det här med inre/yttre funktioner. När du ska derivera en funktion i en funktion (som sin(sqrt(x)) eller ln(x^2)) måste du derivera med kedjeregeln: yttre derivatan gånger inre derivatan.

På samma sätt blir det krångligt att gå baklänges: man kan (i allmänhet) inte bara ignorera en inre funktion och hitta en primitiv till bara den yttre. Om du t.ex. vill hitta en primitiv till cos(x^2) kan du inte bara titta på cos och sätta sin(x^2). (Faktum är att cos(x^2) inte har någon primitiv funktion, men det är en annan fråga.)

Man skulle kunna fråga "är inte (1+z)^(-1/2) också en funktion i en funktion?" (funktionen z+1 insatt i x^(-1/2)), och det är det. Skillnaden är att den inre funktionen z+1 har derivatan 1, och då tillkommer inga extra bekymmer. Man kan ju multiplicera eller dividera någonting med 1 hur mycket man vill utan att ändra värdet.

Så knepet hänger på att byta ut en sammansättning av två funktioner ("ett delat på" och "roten ur"), till ett likvärdigt uttryck som bara använder en funktion ("upphöjt till -1/2"). Då kan vanliga deriverings-/antideriveringsregler användas, eftersom det som sätts in (z+1) har derivatan 1 och kan behandlas precis som ett enda vanligt x.