Pq formeln med komplexa tal
Visa att om =a+bi och =a-bi (a och b reella) är rötter till ekvationen
z²+pz+q=0 så är p och q reella.
Hur ska jag tänka här?
Ska man göra såhär?
Uppgiften säger faktiskt inte att du måste använda "pq-formeln". En andragradsekvation med rötterna z1 och z2 kan skrivas (z-z1 )(z-z2 )=0. Sätt in de ovan givna värdena på z1 och z2 och multiplicera ihop parenteserna. Nu är p = koefficienten för z-termen och q = den bekanta termen. Vad är då p och q uttryckt i a och b?
känns krångligt, finns det något annat sätt?
Precis så ja, och jämfört med mycket annat här på akuten är det knappast krångligare. Andra metoder, tja man kan ju prova med något slags motsägelsebevis, men det lär inte bli lättare utan snarare krångligare.
okej, men då får jag prova helt enkelt. Blir det
Vilket isåfall blir ???????
Nej, det stämmer inte. Efter ihopmultiplicering måste alla termerna vara av ”andra graden” dvs vara z2, az, bz, a2, b2, eller ab.
jaha okej, blir det..
Det är rätt
Vad motsvarar nu p och q - uttryckt i a och b ?
Ska det vara såhär?
p= -2a
q= a²-b²
Värdet för p är rätt
Men då det gäller q så stämmer inte tecknet framför
Eftersom du har produkten
vilket ger
skrev jag inte fel nu.. tog inte med bi i beräkningen.
Ska det vara såhär istället: (z-a+bi)(z-a-bi)=z²-az-bzi-az+a²+abi+bzi-abi-b²i²
Fick detta då z²-az-az+a²+b²
vad sker med a²?
blir p= -2a och q= a²+b²
Precis - helt rätt
Blir då slutsatsen att eftersom a och b är reella tal så blir p och q det också ?