power series I komplexa tal

Använd

$\frac{1}{1-w}=\sum _{k=0}^{\infty }{w}^k, om \left|w\right|<1.$

Alternativ metod: ansätt ett fjärdegradspolynom och multiplicera det med din nämnare.

Laguna skrev:

Alternativ metod: ansätt ett fjärdegradspolynom och multiplicera det med din nämnare.

Det är nog en lättare väg framåt.

Det blir tyvärr fel med $\sin 3x$

$\sin t=t-\frac{t^3}{3!}+O(t^5)$

$t=3x\Rightarrow$

$\sin 3x=3x-\frac{(3x)^3}{3!}+O(x^5)$

Laguna skrev:

Alternativ metod: ansätt ett fjärdegradspolynom och multiplicera det med din nämnare.

Vill du gärna visa mig? för jag fattar 0 

:'(

tomast80 skrev:

Det blir tyvärr fel med $\sin 3x$

$\sin t=t-\frac{t^3}{3!}+O(t^5)$

$t=3x\Rightarrow$

$\sin 3x=3x-\frac{(3x)^3}{3!}+O(x^5)$

Iofs, sant, man behöver ju inte gå upp till grad 5 ty vi bara eftersöker fjärdegradare. 

Men när jag kommer till 

$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^2}{3!} + O(x^5)$ som förkortas till:

$\frac{x^2}{2} + O(x^5)$

oCh med nämnaren: 

$\frac{\frac{x^2}{2}+O(x^5)}{x^2-4x+3}$ (nu har jag insett att jag ansatt $x$ hela tiden, men menar såklart $z$? men antar att beräkningar blir densamma?

och nu vet jag inte om jag minns rätt från envarren, men visst är det väl så att Olbe-termer "äter" (alltså man kan styrka dom) upp alla gradare större än (i detta fall) 5? men nu har vi ju inte det, så den blir oförändrad eller? 

Heeelp!

mrlill_ludde skrev:

Laguna skrev:

Alternativ metod: ansätt ett fjärdegradspolynom och multiplicera det med din nämnare.

Vill du gärna visa mig? för jag fattar 0 

 

:'(

Ta ett godtyckligt fjärdegradspolynom. Du får kalla koefficienterna vad du vill, jag väljer a, b osv. ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e. (Vi behöver inte e i den vanliga betydelsen.) Jag kallar polynomet p(x). Vet du vad ansätta betyder? Man kan se det som en kombination av "anta" och "sätta in", om man vill. Vi vet inte hur polynomet ska se ut, men vi tar ett som kan fås att passa in på alla fjärdegradspolynom, och räknar med att vi kan få fram värden på alla koefficienter. Nu ska det gälla att p(z)*(z²-4z+3) = sin(3z) (fast inte riktigt, det är McLaurin-utvecklingen av sin(3x) där vi har kastat bort allt av grad 5 eller mer). 

Multiplicera.

Laguna skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Alternativ metod: ansätt ett fjärdegradspolynom och multiplicera det med din nämnare.

Vill du gärna visa mig? för jag fattar 0 

 

:'(

Ta ett godtyckligt fjärdegradspolynom. Du får kalla koefficienterna vad du vill, jag väljer a, b osv. ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e. (Vi behöver inte e i den vanliga betydelsen.) Jag kallar polynomet p(x). Vet du vad ansätta betyder? Man kan se det som en kombination av "anta" och "sätta in", om man vill. Vi vet inte hur polynomet ska se ut, men vi tar ett som kan fås att passa in på alla fjärdegradspolynom, och räknar med att vi kan få fram värden på alla koefficienter. Nu ska det gälla att p(z)*(z²-4z+3) = sin(3z) (fast inte riktigt, det är McLaurin-utvecklingen av sin(3x) där vi har kastat bort allt av grad 5 eller mer). 

 

Multiplicera.

Vänta lite... om jag sätter 

$p(z) = Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$ och det skall gälla:

$p(z) \cdot (z^2-4z+3) = \sin(3z)$ .

Jag beräknade $\sin(3z) = 3z - \frac{(3x)^2}{3!} + O(x^5)$ som förkortades till 

$\frac{x^2}{2} + O(x^5)$

så alltså????

$p(z) \cdot (z^2-4z+3) = \frac{x^2}{2} + O(x^5)$

Håll dig till en variabel (förslagsvis $z$ eftersom det står i uppgiften). Du kan inte ha både $z$ och $x$ samtidigt.

Lagunas metod går ut på att vi ansätter:

$\dfrac{\sin(3z)}{z^2-4z+3}=E+Dz+Cz^2+Bz^3+Az^4+O\left(z^5\right)$

och sedan multiplicerar båda led med $z^2-4z+3$ så att vi får:

$\sin(3z)=(E+Dz+Cz^2+Bz^3+Az^4+O(z^5))(z^2-4z+3)$

Vi kan även maclaurinutveckla i VL så att vi får:

$3z-\dfrac{(3z)^3}{3!}+O\left(x^5\right)=\left(E+Dz+Cz^2+Bz^3+Az^4+O\left(z^5\right)\right)\left(z^2-4z+3\right)$

Nu kan du multiplicera ut HL och jämföra koefficienter och på så sätt få fram $A$, $B$, $C$, $D$ och $E$.

Ett annat alternativ är så klart att ta fram derivatorna av funktionen, men det är förmodligen krångligare.

AlvinB skrev:

Håll dig till en variabel (förslagsvis $z$ eftersom det står i uppgiften). Du kan inte ha både $z$ och $x$ samtidigt.

Lagunas metod går ut på att vi ansätter:

$\dfrac{\sin(3z)}{z^2-4z+3}=E+Dz+Cz^2+Bz^3+Az^4+O\left(z^5\right)$

och sedan multiplicerar båda led med $z^2-4z+3$ så att vi får:

$\sin(3z)=(E+Dz+Cz^2+Bz^3+Az^4+O(z^5))(z^2-4z+3)$

Vi kan även maclaurinutveckla i VL så att vi får:

$3z-\dfrac{(3z)^3}{3!}+O\left(x^5\right)=\left(E+Dz+Cz^2+Bz^3+Az^4+O\left(z^5\right)\right)\left(z^2-4z+3\right)$

Nu kan du multiplicera ut HL och jämföra koefficienter och på så sätt få fram $A$, $B$, $C$, $D$ och $E$.

Ett annat alternativ är så klart att ta fram derivatorna av funktionen, men det är förmodligen krångligare.

Såhär då?

$(Az^4+Bz^3+Cz^2+Dz+E)(z^2-4z+3)=3 z-\frac{9 z^3}{2}+\frac{81 z^5}{40}-\frac{243 z^7}{560}+O\left(z^{9}\right)$

Så
$f(z)=\frac{\sin(3z)}{z^2-4z+3}=\frac{3 z-\frac{9 }{2}z^3+\frac{81 }{40}z^5-\frac{243 }{560}z^7+O\left(z^9\right)}{z^2-4z+3}$ och använda division?

Nu får det bli foto:

meeh eeeh

Nja, polynomdivision är inte vad vi föreslår.

Det kan tyckas smart att använda, men då vi har ett oändligt antal termer i täljaren kommer du aldrig att få rätt koefficienter eftersom högre ordningens koefficienter påverkar lägre ordningens koefficienter i divisionen. Du skulle behöva utföra divisionen med oändligt stor grad, något som är omöjligt.

Vad jag och Laguna förespråkar är istället att du skall utveckla parenteserna till höger i likheten:

$3z-\dfrac{(3z)^3}{3!}+O\left(z^5\right)=\left(E+Dz+Cz^2+Bz^3+Az^4+O\left(z^5\right)\right)\left(z^2-4z+3\right)$

(Du kan här förkasta alla termer som blir av ordning $z^5$ eller högre eftersom vi bara skall utveckla till grad $z^4$)

och sedan jämföra koefficienter med vänsterledet. Du får då ett ekvationssystem där du kan lösa ut $A$, $B$, $C$, $D$ och $E$. Lyckas du med detta har du fått fram ditt svar.

AlvinB skrev:

Nja, polynomdivision är inte vad vi föreslår.

Det kan tyckas smart att använda, men då vi har ett oändligt antal termer i täljaren kommer du aldrig att få rätt koefficienter eftersom högre ordningens koefficienter påverkar lägre ordningens koefficienter i divisionen. Du skulle behöva utföra divisionen med oändligt stor grad, något som är omöjligt.

Vad jag och Laguna förespråkar är istället att du skall utveckla parenteserna till höger i likheten:

$3z-\dfrac{(3z)^3}{3!}+O\left(z^5\right)=\left(E+Dz+Cz^2+Bz^3+Az^4+O\left(z^5\right)\right)\left(z^2-4z+3\right)$

(Du kan här förkasta alla termer som blir av ordning $z^5$ eller högre eftersom vi bara skall utveckla till grad $z^4$)

och sedan jämföra koefficienter med vänsterledet. Du får då ett ekvationssystem där du kan lösa ut $A$, $B$, $C$, $D$ och $E$. Lyckas du med detta har du fått fram ditt svar.

orkade inte räkna ut det där för hand, men nu får jag:

$x$ ska vara $z$ såklart.. 

och då är ju alla rosa grad 4, om vi börjar där, blir det då

$x^4(lala)=0$ eftersom vi inte har en fjärdegradera i VL? 

och för $x^4(kaka)=9/2$

ne fyyyy har glömt. :s

nvm

Du är på rätt spår. Vi får ju:

$3z-\dfrac{9z^3}{2}+O\left(z^5\right)=3E+3Dz-4Ez+3Cz^2-4Dz^2+Ez^2+3Bz^3-4Cz^3+Dz^3+3Az^4-4Bz^4+Cz^4+O\left(z^5\right)$

Nu kan vi göra som du beskriver, och gruppera alla termer av grad 0, grad 1, grad 2, o.s.v.

$3z-\dfrac{9z^3}{2}+O\left(z^5\right)=3E+\left(3D-4E\right)z+\left(3C-4D+E\right)z^2+\left(3B-4C+D\right)z^3+\left(3A-4B+C\right)z^4+O\left(z^5\right)$

Nu kan vi jämföra koefficienter. Då får vi följande ekvationer:

$\{\begin{matrix}3E=0\\3D-4E=3\\3C-4D+E=0\\3B-4C+D=-9/2\\3A-4B+C=0\end{matrix}$

Hänger du med på det?

AlvinB skrev:

Du är på rätt spår. Vi får ju:

$3z-\dfrac{9z^3}{2}+O\left(z^5\right)=3E+3Dz-4Ez+3Cz^2-4Dz^2+Ez^2+3Bz^3-4Cz^3+Dz^3+3Az^4-4Bz^4+Cz^4+O\left(z^5\right)$

Nu kan vi göra som du beskriver, och gruppera alla termer av grad 0, grad 1, grad 2, o.s.v.

$3z-\dfrac{9z^3}{2}+O\left(z^5\right)=3E+\left(3D-4E\right)z+\left(3C-4D+E\right)z^2+\left(3B-4C+D\right)z^3+\left(3A-4B+C\right)z^4+O\left(z^5\right)$

Nu kan vi jämföra koefficienter. Då får vi följande ekvationer:

$\{\begin{matrix}3E=0\\3D-4E=3\\3C-4D+E=0\\3B-4C+D=-9/2\\3A-4B+C=0\end{matrix}$

Hänger du med på det?

AlvinB skrev:

Du är på rätt spår. Vi får ju:

$3z-\dfrac{9z^3}{2}+O\left(z^5\right)=3E+3Dz-4Ez+3Cz^2-4Dz^2+Ez^2+3Bz^3-4Cz^3+Dz^3+3Az^4-4Bz^4+Cz^4+O\left(z^5\right)$

Nu kan vi göra som du beskriver, och gruppera alla termer av grad 0, grad 1, grad 2, o.s.v.

$3z-\dfrac{9z^3}{2}+O\left(z^5\right)=3E+\left(3D-4E\right)z+\left(3C-4D+E\right)z^2+\left(3B-4C+D\right)z^3+\left(3A-4B+C\right)z^4+O\left(z^5\right)$

Nu kan vi jämföra koefficienter. Då får vi följande ekvationer:

$\{\begin{matrix}3E=0\\3D-4E=3\\3C-4D+E=0\\3B-4C+D=-9/2\\3A-4B+C=0\end{matrix}$

Hänger du med på det?

Det citerade inlägget ovan är bild på min uträkning. Fingerar ej bra o lads aupp på

padda. 

Tyvärr fel redan direkt från början.

Lösningen till $3E=0$ blir ju $E=0$, inte $E=-3$!

AlvinB skrev:

Tyvärr fel redan direkt från början.

Lösningen till $3E=0$ blir ju $E=0$, inte $E=-3$!

Faaaannnnnnn är bakis. Får kolla på det imorogn.  😂

AlvinB skrev:

Tyvärr fel redan direkt från början.

Lösningen till $3E=0$ blir ju $E=0$, inte $E=-3$!

eller hur? så då ska jag svara ??

efertsm. jag har A, B, C,D och E (=5st) och 4 skall in?

mrlill_ludde skrev:

efertsm. jag har A, B, C,D och E (=5st) och 4 skall in?

Räkna rutorna en gång till. De är inte fyra stycken.

Nästan korrekt.

Du har gjort ett teckenfel när du sätter in $B=-1/18$ i $3A-4B+C=0$. Du borde istället få:

$3A\color{red}+\color{black}\dfrac{4}{18}+\dfrac{4}{3}=0$