Potentiell energi för hängande fjäder

Hej!

Jag sitter och funderar på varför man kan "bortse från" (snarare eliminera) lägesenergin för en massa $m$ som hänger i en fjäder, så länge nollnivån placeras i jämviktsläget. Låt $δ$ beteckna koordinaten från massans läge då fjädern är osträckt till massans läge vid jämvikt. Låt sedan $x$ beteckna positionen för massan från jämviktsläget, och $k$ fjäderkonstanten. Jag tycker då att den totala potentiella energin i systemet borde bli

$V = \frac{1}{2} k (δ + x)^{2} - m g x$ ,

eftersom $δ + x$ är den totala utsträckningen för fjädern. Meriam-Kraige tycker dock (under avsnitt 8/5 Energy Methods, s. 610 i 8:e utgåvan) att den potentiella energin är

$V = \frac{1}{2} k (δ + x)^{2} - \frac{1}{2} k δ^{2} - m g x$ .

Jag förstår inte var den andra termen kommer ifrån. Det ser ut som en "fjäderterm", men varför är den negativ och varför är den ens med överhuvudtaget?

Jag vill till slut använda att vi har $k δ = m g$ (vilket fås från kraftjämvikt då $x = 0$ ) och få ut svaret

$V = \frac{1}{2} k x^{2}$ ,

och det är ju uppenbart att Meriam-Kraiges uttryck leder dit men inte mitt. Vad är det jag missar?

En sak som kan vara bra när du har sådana här funderingar är att laborera med relationerna och försöka bilda en intuition från detta. Avståndet $δ$ betecknar statiskt tillstånd när massan enbart hänger i fjädern och om $x = 0$ fås från din relation att:

$V (x = 0) = \frac{1}{2} k (δ + 0)^{2} - 0 = \frac{1}{2} k δ^{2}$

Relationen från läroboken blir:

$V (x = 0) = \frac{1}{2} k (δ + 0)^{2} - \frac{1}{2} k δ^{2} - 0 = 0$

Ser du vad skillnaden mellan era resultat betyder?

Hmm, är det så att man vill att totala potentialen är noll vid jämvikt? Förstår inte varför i sådana fall, för vi har ju en energi från att fjädern är utsträckt oavsett om det är jämvikt eller inte.

Hur stor är kraften från fjädern när massan är i jämviktsläget? Är kraften riktad uppåt eller nråt?

pixisdot skrev:
Förstår inte varför i sådana fall, för vi har ju en energi från att fjädern är utsträckt oavsett om det är jämvikt eller inte.

Just den lagrade energin är relaterad till att massan har hängts i fjädern, kommer den bidra till att driva systemet? Om inte är det ganska ointressant att beskriva den. Det är helt valfritt var du har din nollnivå för potentiell energi, kom ihåg det.

Ebola skrev:
pixisdot skrev:
Förstår inte varför i sådana fall, för vi har ju en energi från att fjädern är utsträckt oavsett om det är jämvikt eller inte.
Just den lagrade energin är relaterad till att massan har hängts i fjädern, kommer den bidra till att driva systemet? Om inte är det ganska ointressant att beskriva den. Det är helt valfritt var du har din nollnivå för potentiell energi, kom ihåg det.

Jag tror jag förstår vad du menar. Men om jag fortsätter fundera... Lägesenergins nollnivå kan man välja valfritt just för att vi är intresserade av förändringen i lägesenergi, inte sant? Tänker man då likadant med fjäderenergin? Den totala förändringen av fjäderenergi i varje ögonblick blir

[fjäderenergiförändring] = [fjäderenergi i ett godtyckligt ögonblick] - [fjäderenergi i början],

och då borde vi väl få rätt uttryck? Rätta mig gärna om jag tänker fel :)

pixisdot skrev:
Jag tror jag förstår vad du menar. Men om jag fortsätter fundera... Lägesenergins nollnivå kan man välja valfritt just för att vi är intresserade av förändringen i lägesenergi, inte sant? Tänker man då likadant med fjäderenergin? Den totala förändringen av fjäderenergi i varje ögonblick blir
[fjäderenergiförändring] = [fjäderenergi i ett godtyckligt ögonblick] - [fjäderenergi i början],
och då borde vi väl få rätt uttryck? Rätta mig gärna om jag tänker fel :)

Mycket riktigt! Meriam and Kraige använder i fallet du tittar på energiprincipen. En massa som hänger i en fjäder är ett konservativt system vilket betyder att:

$ΔT + ΔV = 0$

Vi har att förändringen av potentiell energi är summan av förändringar av det de kallar elastisk energi och gravitationell energi:

$Δ V_{e} = \int_{δ_{s t}}^{δ_{s t} + x} k x d x Δ V_{g} = - (m g (x + δ) - m g δ)$

Det blir alltså tydligt att oavsett hur vi strukturerar det är det bara intressant hur den potentiella energin varierar med avseende på koordinaten som förändras. Detta kommer ifrån att potentiell energi är en relativ storhet vilken beräknas från en linjeintegral för kraften som påverkar objektet. Om det är irrelevant vilken väg vi tar (om systemet är konservativt) blir den potentiella energin vid en punkt förändringen av en skalär potential.

Jag måste säga att det är intressant att du har Meriam and Kraige när du samtidigt lär dig om lagrangiansk mekanik. Det är väldigt olika synsätt mellan dem då Meriam and Kraige är enbart klassisk newtonsk mekanik och samtidigt är den snävt inriktad på ingenjörsmekanik.

Tack så mycket! Det faller på plats med integralerna.

Vår kurs i Mekanik beskrivs av föreläsaren som en blandning mellan ingenjörsmekanik och analytisk mekanik; de första säg 3/4 av kursen behandlar kap 5-8 i Meriam-Kraige (kompletterade med mer analytiska föreläsningsanteckningar) medan den sista delen bygger på ett kompendium om analytisk mekanik. Kompendiet behandlar bl.a. generaliserade koordinater, Lagranges ekvationer samt Hamiltonekvationerna.

Intressant tråd. Tack pixisdot och ett speciellt tack till Ebola för en suverän förklaring.

Svara

Visa senaste svar