Potentialteori

Jag har ett problem med följande uppgift;

"I sfären r=a finns en rymdladdning med tätheten $ρ (r, θ, φ) = ρ_{0} (\frac{r}{a})^{3} \sin (θ) \cos (φ)$ och på sfären gäller att $ϕ (a, θ, φ) = ϕ_{0}$ . Bestäm den elektriska potentialen $ϕ$ inuti och utanför sfären."

Inuti sfären är jag med på, jag löste Poissons ekvation $∆ ϕ = - ρ_{0} {(\frac{r}{a})}^{3} \sin (θ) \cos (φ)$ med hjälp av randvillkoren och fick att potentialen inuti sfären är $ϕ (r, θ, φ) = ϕ_{0} + \frac{ρ_{0} a}{28} (r - \frac{r^{5}}{a^{4}}) \sin (θ) \cos (φ)$ .

Jag har dock ingen aning om hur jag gör utanför sfären. Vad vet jag om laddning utanför? Allt jag vet är ju bara givet inuti/på sfären..

Det rent formella problemet för området utanför sfären är att lösa PDE:n

$\nabla^2 \phi = 0, \quad r > a$ (ingen laddningsdensitet utanför sfären)

med randvillkoren $\phi(a,\theta,\varphi) = \phi_0$ dvs en konstant.

Lösningen till det problemet torde bara vara

$\phi(r,\theta,\phi) = \phi_0 \frac{a}{r}$

dvs ett punktaladdningsfält som tillfredställer randvillkoret.

Funderingar: Att en laddningsfördelning som inte är rotationssymmetriskt fördelad ändå ska ge upphov till ett yttre fält som är rotationssymmetriskt är lite underligt men man får antaga att ytan på klotet är en perfekt ledare varför potentialen är konstant på denna yta.

Om så vore fallet så skulle dock denna perfekta ledare mig till synes agera som en faradaybur och kancellera alla fält inuti sfären varför fältet inuti sfären borde vara 0... (Det kan ju även vara så att fördelningen är väldigt specifik konstruerad så att potentialen blir konstant på ytan. Kändes bara mindre sannolikt)

Känns som att det är för sent på kvällen för att undersöka denna tanke ordentligt och kanna vara så att jag snubblat men förhoppningsvis ser du var som gör mig fundersam.

Tack för svar!

Men jag kan alltså anta att laddningsdensiteten utanför är noll? Jag klarar inte se vad som motiverar det?

Håller med om att rotationssymmetri utanför verkar märkligt, baserat på laddningen given inuti.

Om det fanns laddningar utanför sfären så skulle ju problemet inte vara lösbart... Då så skulle det ju kunna finnas en enorm punktladning alldeles till höger om sfären vars potential även skulle göra sig känd inuti sfären och som skulle behöva vara med i svarsuttrycket. Nej. Har man inte beskrivit att det finns något utanför en kropp i ett elektroproblem så finns där ingenting.

Om symmetrin så kan det helt enkellt vara så det är. Hela poängen med PDE:er är ju att randvillkor är det enda som behövs för att lösa laplaces ekvation och om randvillkoren är symmetriska så måste ju lösningen vara det.

Ser nu att din lösning för det inre reproducerar randvillkoret i gränsen utan att det är konstant så ytan behöver inte vara en ledare och den tanken kan nog strykas.

Okej, tack!

Jag tänkte att om lösningen visade en punktladdning så skulle denne vara inuti sfären, $\frac{\hat{r}}{r^{2}}$ , men jag skulle alltså kunna ha en punktladdning på formen $\frac{\hat{r}}{(r - x)^{2}}$ , som skulle innebära att singulariteten finns någon annanstans än i origo och därmed kanske utanför sfären, eller tänker jag helt fel? Men hade någon punktladdning funnits så hade laddningsdensiteten innehållit ytterligare en term?

Försöker bara make sense av allt detta..

Svara

Visa senaste svar