6 svar
216 visningar
sannakarlsson1337 590
Postad: 26 dec 2020 10:49

Potentialfält i R^3

Definitionen;

Räcker det bara med att kolla de partiella derivatorna, se så att de röda i bilden ovan stämmer (i alla tre då!) för att det ska vara ett potentialfält?

sedan för värdet, bara substituera in respektive siffra?



För tänker i R^2 så har jag stött på sånna här problem enligt recept:

  1. hitta den sökta potentialen
  2. derivera map tex y
  3. integrera map y
  4. bla bla enligt bilden nedan, inte viktigt själva talet, men ni förstår nog kanske vad jag är ute efter?
Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 26 dec 2020 11:38 Redigerad: 26 dec 2020 11:40

Nej, det räcker inte, du måste också säga något om området. Och 3 dimensioner är lite krångligare än två, t.ex. kan man ha en singularitet i enskild punkt, och ändå ha ett område som är enkelt sammanhängande.

Ett område Ω\Omega kallas enkelt sammanhängande om varje sluten kurva i Ω\Omega  är en randkurva till en yta helt inom Ω\Omega.

Notera att villkoret i din text säger "Nödvändigt" vilket inte är samma sak som "tillräckligt"

sannakarlsson1337 590
Postad: 26 dec 2020 11:41
Jroth skrev:

Nej, det räcker inte, du måste också säga något om området. Och 3 dimensioner är lite krångligare än två, t.ex. kan man ha en singularitet i enskild punkt, och ändå ha ett område som är enkelt sammanhängande.

Ett område Ω\Omega kallas enkelt sammanhängande om varje sluten kurva i Ω\Omega  är en randkurva till en yta helt inom Ω\Omega.

Notera att villkoret i din text säger "Nödvändigt" vilket inte är samma sak som "tillräckligt"

Så hur hade man löst denna då på smidigast sätt?

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 26 dec 2020 12:05 Redigerad: 26 dec 2020 12:07

Man kan säga så här:

Om vektorfältet F\mathbf{F} är virvelfritt (dvs ×F=0\nabla\times \mathbf{F}=0) i ett öppet enkelt sammanhängande område Ω3\Omega\subseteq \mathbb{R}^3 så har F\mathbf{F} en potential på Ω\Omega.

Det nödvändiga villkoret ×F=0\nabla\times \mathbf{F}=0 är samma sak som villkoret för de rödmarkerade partiella derivatorna ovan.

sannakarlsson1337 590
Postad: 26 dec 2020 13:55
Jroth skrev:

Man kan säga så här:

Om vektorfältet F\mathbf{F} är virvelfritt (dvs ×F=0\nabla\times \mathbf{F}=0) i ett öppet enkelt sammanhängande område Ω3\Omega\subseteq \mathbb{R}^3 så har F\mathbf{F} en potential på Ω\Omega.

Det nödvändiga villkoret ×F=0\nabla\times \mathbf{F}=0 är samma sak som villkoret för de rödmarkerade partiella derivatorna ovan.

Så då ska jag kolla respektive partiella derivata?

Sedan bara substituera in respektive punkt och subtrahera?

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 26 dec 2020 14:22 Redigerad: 26 dec 2020 14:52

Du måste skriva något om att det finns ett öppet enkelt sammanhängande område Ω\Omega som innehåller integrationskurvan samt att integranderna (fältkomponenterna) är kontinuerligt deriverbara i Ω\Omega. Eftersom vektorfältet är virvelfritt blir kurvintegralen oberoende av vägen och vi kan dessutom skapa en potentialfunktion UU enligt

U(x,y,z)=x2y2z+x2yz2+xy2z2U(x,y,z)=x^2y^2z + x^2yz^2 + xy^2z^2

Sedan är det bara att sätta in punkterna och utvärdera integralen.

Om du glömmer bort att kontrollera förutsättningarna (villkoren på området Ω\Omega, villkoren på fältet, eller att derivatorna är lika, dvs fältet är virvelfritt) har du bara gjort halva uppgiften.

sannakarlsson1337 590
Postad: 5 jan 2021 09:59
Jroth skrev:

Du måste skriva något om att det finns ett öppet enkelt sammanhängande område Ω\Omega som innehåller integrationskurvan samt att integranderna (fältkomponenterna) är kontinuerligt deriverbara i Ω\Omega. Eftersom vektorfältet är virvelfritt blir kurvintegralen oberoende av vägen och vi kan dessutom skapa en potentialfunktion UU enligt

U(x,y,z)=x2y2z+x2yz2+xy2z2U(x,y,z)=x^2y^2z + x^2yz^2 + xy^2z^2

Sedan är det bara att sätta in punkterna och utvärdera integralen.

Om du glömmer bort att kontrollera förutsättningarna (villkoren på området Ω\Omega, villkoren på fältet, eller att derivatorna är lika, dvs fältet är virvelfritt) har du bara gjort halva uppgiften.

Men försöker förstå här, jag gör

sen ska jag ju hitta fi(z,y) , fi(z,x) och fi(y,x) så att allt det där matchar med varann, men hur ska man göra det??

Svara
Close