Potentialfält

Hej!

Du ska finna de tal $a$ och $b$ som gör att vektorfältets rotation försvinner,

    $\nabla \times F = \mathbf{0}.$

Vet du hur man beräknar rotationen för ett vektorfält? (i rektangulära koordinater)

albibla skrev:

Hej!

Du ska finna de tal $a$ och $b$ som gör att vektorfältets rotation försvinner,

    $\nabla \times F = \mathbf{0}.$

Vet du hur man beräknar rotationen för ett vektorfält? (i rektangulära koordinater)

 Yes.

Eftersom F=$(P,Q,R)$ är av klass $C^1$ i hela rummet så finns det en potentailfunktion omm rotF=0. Och eftersom vi har $(0,a-1,b)$ måste $a=1, b=0$.

Om $U$ är den potentialfunktionen vi söker så får vi med våra $a$ och $b$ att $\frac{dU}{dx}=3x^2+z+y\sin(z^2), \frac{dU}{dy}=2y+x\sin(z^2), \frac{dU}{dz}=1+x+2xyz\cos(z^2)$

Så integrarar map $x$ och får $\int (3x^2+z+y \sin(z^2))dx = x^3+xz+ zy\sin(z^2)+\phi(y,z)$

Och så deriverar vi på $y$ ger $\frac{dU}{dy} = x \sin(z^2)+\phi_y'(y,z) = 2y + x\sin(z^2)$ Så $\phi_y'(y,z)=2y, \phi(y,z)=y^2+\psi(z)$ Och $U(x,y,z) = x^3+xz+zy\sin(z^2)+y^2+\psi(z).$

Men varför skall man derivera map z också?

mrlill_ludde skrev:

albibla skrev:

Hej!

Du ska finna de tal $a$ och $b$ som gör att vektorfältets rotation försvinner,

    $\nabla \times F = \mathbf{0}.$

Vet du hur man beräknar rotationen för ett vektorfält? (i rektangulära koordinater)

 Yes.

Eftersom F=$(P,Q,R)$ är av klass $C^1$ i hela rummet så finns det en potentailfunktion omm rotF=0. Och eftersom vi har $(0,a-1,b)$ måste $a=1, b=0$.

Om $U$ är den potentialfunktionen vi söker så får vi med våra $a$ och $b$ att $\frac{dU}{dx}=3x^2+z+y\sin(z^2), \frac{dU}{dy}=2y+x\sin(z^2), \frac{dU}{dz}=1+x+2xyz\cos(z^2)$

Så integrarar map $x$ och får $\int (3x^2+z+y \sin(z^2))dx = x^3+xz+ zy\sin(z^2)+\phi(y,z)$

Och så deriverar vi på $y$ ger $\frac{dU}{dy} = x \sin(z^2)+\phi_y'(y,z) = 2y + x\sin(z^2)$ Så $\phi_y'(y,z)=2y, \phi(y,z)=y^2+\psi(z)$ Och $U(x,y,z) = x^3+xz+zy\sin(z^2)+y^2+\psi(z).$

Men varför skall man derivera map z också?

För att bestämma den där psi(z).

Laguna skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

albibla skrev:

Hej!

Du ska finna de tal $a$ och $b$ som gör att vektorfältets rotation försvinner,

    $\nabla \times F = \mathbf{0}.$

Vet du hur man beräknar rotationen för ett vektorfält? (i rektangulära koordinater)

 Yes.

Eftersom F=$(P,Q,R)$ är av klass $C^1$ i hela rummet så finns det en potentailfunktion omm rotF=0. Och eftersom vi har $(0,a-1,b)$ måste $a=1, b=0$.

Om $U$ är den potentialfunktionen vi söker så får vi med våra $a$ och $b$ att $\frac{dU}{dx}=3x^2+z+y\sin(z^2), \frac{dU}{dy}=2y+x\sin(z^2), \frac{dU}{dz}=1+x+2xyz\cos(z^2)$

Så integrarar map $x$ och får $\int (3x^2+z+y \sin(z^2))dx = x^3+xz+ zy\sin(z^2)+\phi(y,z)$

Och så deriverar vi på $y$ ger $\frac{dU}{dy} = x \sin(z^2)+\phi_y'(y,z) = 2y + x\sin(z^2)$ Så $\phi_y'(y,z)=2y, \phi(y,z)=y^2+\psi(z)$ Och $U(x,y,z) = x^3+xz+zy\sin(z^2)+y^2+\psi(z).$

Men varför skall man derivera map z också?

För att bestämma den där psi(z).

 Ahhh juste hehe

mrlill_ludde skrev:

albibla skrev:

Hej!

Du ska finna de tal $a$ och $b$ som gör att vektorfältets rotation försvinner,

    $\nabla \times F = \mathbf{0}.$

Vet du hur man beräknar rotationen för ett vektorfält? (i rektangulära koordinater)

 Yes.

Eftersom F=$(P,Q,R)$ är av klass $C^1$ i hela rummet så finns det en potentailfunktion omm rotF=0. Och eftersom vi har $(0,a-1,b)$ måste $a=1, b=0$.

Om $U$ är den potentialfunktionen vi söker så får vi med våra $a$ och $b$ att $\frac{dU}{dx}=3x^2+z+y\sin(z^2), \frac{dU}{dy}=2y+x\sin(z^2), \frac{dU}{dz}=1+x+2xyz\cos(z^2)$

Så integrarar map $x$ och får $\int (3x^2+z+y \sin(z^2))dx = x^3+xz+ zy\sin(z^2)+\phi(y,z)$

Och så deriverar vi på $y$ ger $\frac{dU}{dy} = x \sin(z^2)+\phi_y'(y,z) = 2y + x\sin(z^2)$ Så $\phi_y'(y,z)=2y, \phi(y,z)=y^2+\psi(z)$ Och $U(x,y,z) = x^3+xz+zy\sin(z^2)+y^2+\psi(z).$

Men varför skall man derivera map z också?

 Det där är väl inte din egen text? Du har klippt och klistrat, eller hur?

Vad menar du till exempel med "Och eftersom vi har (0,a-1,b) måste a=1, b=0"?

För att förenkla beräkningarna av rotationen kan man dela upp vektorfältet i två komponenter $F=F_1+F_2$ där

    $F_1(x,y,z) = (3x^2+az\ , bx+2y\ ,1+x)$

och

    $F_2(x,y,z) = (y\sin z^2\ , x\sin z^2\ , 2xyz \cos z^2).$

Vektorfältets rotation blir en summa av två rotationer

    $\nabla \times F = \nabla \times F_1 + \nabla \times F_2$

där rotationen för det komplicerade vektorfältet $F_2$ visar sig vara noll. 

    $(\nabla \times F_2)(x,y,z) = (2xz\cos z^2 - 2xz\cos z^2\ ,2yz\cos z^2 - 2yz\cos z^2\ ,\sin z^2 - \sin z^2) = \mathbf{0}.$

Det gäller alltså att

    $\nabla \times F = \nabla \times F_1$

och rotationen för det okomplicerade vektorfältet $F_1$ är lätt att beräkna.

albibla skrev:

För att förenkla beräkningarna av rotationen kan man dela upp vektorfältet i två komponenter $F=F_1+F_2$ där

    $F_1(x,y,z) = (3x^2+az\ , bx+2y\ ,1+x)$

och

    $F_2(x,y,z) = (y\sin z^2\ , x\sin z^2\ , 2xyz \cos z^2).$

Vektorfältets rotation blir en summa av två rotationer

    $\nabla \times F = \nabla \times F_1 + \nabla \times F_2$

där rotationen för det komplicerade vektorfältet $F_2$ visar sig vara noll. 

    $(\nabla \times F_2)(x,y,z) = (2xz\cos z^2 - 2xz\cos z^2\ ,2yz\cos z^2 - 2yz\cos z^2\ ,\sin z^2 - \sin z^2) = \mathbf{0}.$

Det gäller alltså att

    $\nabla \times F = \nabla \times F_1$

och rotationen för det okomplicerade vektorfältet $F_1$ är lätt att beräkna.

 TacK =) ska kolla, på återseende :)