16 svar
1659 visningar
JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 22 apr 2018 13:20

potentialfält

Hej

jag sitter med en uppgift som jag behöver lite hjälp med:

Visa att kraftfältet 2xy,x2-y2 är konservativt i 2

och bestäm en potentialfunktion U(x,y) med   U(0,0)=0

I kursboken står det att om man lyckas finna en potentialfunktion så har vi visat att kraftfältet är konservativt.Som jag förstår det kan man bestämma ifall ett kraftfält är konservativt genom att hitta en funktion U som uppfyller att Ux=2xyUy=x2-y2

men sedan kommer jag inte mycket längre, hur ska man gå vidare härifrån för att lösa uppgiften?

Guggle 1364
Postad: 22 apr 2018 20:23 Redigerad: 22 apr 2018 20:37

Det är bara att integrera komponentvis

Ux=2xy    U(x,y)=x2y+f(y) \frac{\partial U}{\partial x}=2xy\quad \Rightarrow \quad U(x,y)=x^2y+f(y)

Gör samma för y-komponenten (fast med en eventuell funktion som beror av x).

De två uttrycken för U ska gälla samtidigt vilket låter dig identifiera de okända funktionerna sånär som på en konstant C. U(0,0)=0 ger dig slutligen C.

Som extra bonus kan nämnas att det vanligaste sättet att visa att ett fält F är konservativt är att visa att ×F=0 \nabla \times \mathbf{F}=0 eller Fyx-Fxy=0 \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=0 .

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 23 apr 2018 09:47

så får vi då Uy=x2-y2 U(x,y) =y33

så vi har då de två funktionerna Ux,y=x2y+fyUx,y=y33

men jag förstår inte riktigt hur vi menar med U(0,0)=0, ska vi alltså sätta x=0 och y=0 men då ser vi ju att båda funktionerna blir noll då vi inte har någon annan konstant.

Guggle 1364
Postad: 23 apr 2018 13:27 Redigerad: 23 apr 2018 14:11

När vi tar den partiella derivatan med avseende på x försvinner alla konstanter och funktioner som bara beror på y.

Alltså måste vi lägga till en hel funktion f(y) som integrationskonstant istället för bara en konstant C. Det samma gäller för den partiella derivatan med avseende på x.

Nu ska dessa uttryck gälla samtidigt!

yx2-y33+g(x)=yx2+f(y) yx^2-\frac{y^3}{3}+g(x)=yx^2+f(y)

Vars enda lösning är

Och alltså är

U(x,y)=x2y-y33+C U(x,y)=x^2y-\frac{y^3}{3}+C .

Slutligen ger villkoret U(0,0)=0 C=0.

I just den här uppgiften behövde vi inte bekymra oss särskilt mycket om f(y) och g(x) men förhoppningsvis stöter du i framtiden på  svårare uppgifter där det spelar roll.

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 24 apr 2018 16:34

om man vill lösa uppgiften genom det som du angav som det vanliga sätten ×F=0 eller Fyx-Fxy=0

För ×F kan vi ju sätta  F=2xy,x2-y2  men hur får vi gradientoperatorn? ska vi bara ta =(0,0) eftersom vi har att U(0,0)=0 ? i så fall får vi väl 2xy×0+x2-y2×0=0

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 25 apr 2018 22:04

om man ska lösa uppgiften genom Fyx-Fxy=0 ska vi då först derivera hela fältet med avseende på y och då få 2x+2y och sedan derivera 2xy med avseende på x och då 2y så att Fyx=2x+2y2y=2x och sedan göra samma sak med  Fxy ? jag för även 2x där och i så fall 2x-2x=0

Guggle 1364
Postad: 26 apr 2018 00:20 Redigerad: 26 apr 2018 00:26

Jag tror du har missförstått, vi löser inte uppgiften så.  

Att ×F=0 \nabla \times \mathbf{F}=0 (virvelfritt) innebär att fältet är konservativt. Min kommentar handlar om hur vi visar att det existerar en potential, dvs hur vi visar att fältet är konservativt.

Vi börjar i regel inte med att hoppas att det finns en potential och sedan dra slutsatsen att fältet är konservativt om vi lyckas hitta en (även om det är teoretiskt möjligt).

Om F \mathbf{F} är kontinuerligt deriverbar så är F \mathbf{F} virvelfritt i Ω \Omega om och endast om ×F=0 \nabla \times \mathbf{F}=0 i Ω \Omega

Ett virvelfritt fält i ett enkelt sammanhängande område Ω \Omega kan ALLTID framställas som minus gradienten av ett skalärt fält U, F=-U \mathbf{F}=-\nabla U .

U kallas då fältets potential

Då ett vektorfältet är virvelfritt i Ω \Omega är tangentlinjeintegralen av fältet från en punkt P i Ω \Omega till en annan punkt Q i Ω \Omega oberoende av integrationsväg mellan P och Q.

Detta kan vara ett kraftfullt verktyg vid beräkning av komplicerade tangentlinjeintegraler, då vi kan nöja oss med att beräkna skillnaden i potential mellan start- och och slutpunkt.

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 30 apr 2018 08:52

så om jag har förstått rätt så går frågan ut på att vi först ska visa att kraftfältet är konservativt och detta gör vi genom att visa att ×F=0 dvs virvelfritt.

Sedan så ska vi bestämma en potentialfunktion U(x,y) med U(0,0)=0 och detta görs genom att integrera komponentvis och vi får U(x,y)= x2y-y33+C där vi sedan kan konstatera att C ska vara noll så det blir bara U(x,y)=x2y-y33

Det jag fortfarande har problem med är att visa att ×F=0, vi har ju att F=2xy,x2-y2 men vad blir ? om vi använder att ett virvelfritt fält kan framställas som F=-U så ska väl -U=2xy,x2-y2 ska vi då använda att vi har räknat fram U=x2y-y33 och sedan multiplicera det med -

Guggle 1364
Postad: 30 apr 2018 14:37 Redigerad: 30 apr 2018 15:24
JnGn skrev :

så om jag har förstått rätt så går frågan ut på att vi först ska visa att kraftfältet är konservativt och detta gör vi genom att visa att ×F=0 dvs virvelfritt.

Ja, det stämmer. Om vi ska vara petiga måste vi också införa krav t.ex. F är virvelfritt i ett enkelt sammanhängande område Ω. Så länge F och området är snälla (som i detta fall) är det inga problem.

Sedan så ska vi bestämma en potentialfunktion U(x,y) med U(0,0)=0 och detta görs genom att integrera komponentvis och vi får U(x,y)= x2y-y33+C där vi sedan kan konstatera att C ska vara noll så det blir bara U(x,y)=x2y-y33

Japp, det stämmer.

Det jag fortfarande har problem med är att visa att ×F=0,

×F=x,y,z×Fx,Fy,Fz=ex,ey,ezx,y,zFx,Fy,Fz

ex,ey,ezx,y,zFx,Fy,Fz=exFzy-Fyz+eyFxz-Fzx+ezFyx-Fxy

Det ser ju hemskt krångligt ut, men i det tvådimensionella fallet är Fz=0 och alla derivator med avseende på z är noll. Kvar blir villkoret

Fyx-Fxy=0\boxed{\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=0}

Som jag föreslår att du lär dig utantill.

För just ditt kraftfält visar det sig att

×F=x(x2-y2)-y(2xy)=2x-2x=0

Alltså existerar det en potential. Ett annat sätt att uttrycka det är att säga att differentialformen Fxdx+Fydy är exakt.

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 30 apr 2018 21:38

då vi är i 2 blir z= 0 och därför får vi väl att ezFyx-Fxy är samma som 0Fyx-Fxy vilket då blir noll, men varför får vi sedan ett minustecken framför den partiella derivatan av y i xx2-y2-y2xy ?

Guggle 1364
Postad: 30 apr 2018 22:18 Redigerad: 30 apr 2018 22:19

Vi är inte kvar i 2 eftersom kryssprodukten inte existerar där. För att göra det lätt för oss utökar vi fältet från F=(2xy,x2-y2) i 2\mathbb{R}^2 till F=(2xy,x2-y2,0) i 3.

Enhetsvektorn ez är alltid (0,0,1) även då z=0 och då de partiella derivatorna med avseende på z är noll.

×F=0 gäller generellt som ett nödvändigt och under rätt förutsättningar tillräckligt villkor för existensen av en potential.

I två dimensioner förenklas villkoret för existensen av en potential eftersom z och de partiella derivatorna med avseende på z är noll. Om vektorfältet F=(Fx,Fy) uppfyller 

Fyx-Fxy=0 

i en enkelt sammanhängande (öppen) delmängd av xy-planet så existerar en potential till F

Om ni av någon anledning endast begränsar er till två dimensioner och kan du istället för att använda kryssprodukten härleda villkoret över likheten mellan blandade partiella derivator.

Fyx=2Uxy,  Fxy=2Uyx

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 30 apr 2018 22:49

okej så istället blir det alltså att x=0 och y=0 inom parentesen efter ez så vi får ez×0=0?

Guggle 1364
Postad: 30 apr 2018 23:11 Redigerad: 30 apr 2018 23:23
JnGn skrev :

okej så istället blir det alltså att x=0 och y=0 inom parentesen efter ez så vi får ez×0=0?

 Jag är inte med på hur du menar med x=0 och y=0. Innan vi börjar leta efter en potential vill vi visa att fältet är konservativt.

Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att ett deriverbart fält ska vara konservativt i ett enkelt sammanhängande område Ω är att ×F=0

För det fält du studerar får vi

×F=ez(x(x2-y2)-y(2xy))=ez(2x-2x)=0

Alltså har vi visat att fältet är konservativt.

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 1 maj 2018 10:04

okej då är jag med på hur vi får ezFyx-Fxy=0 men jag är fortfarande inte helt med på varför vi endast får ez kvar för om i det tvådimensionella fallet gäller att Fz=0 och alla derivator med avseende på z är noll, vad händer då med övriga termer i tex exFzy-Fyz vad händer med Fyz

Sedan förstår jag inte riktigt övergången mellan det tvådimensionella och tredimensionella fallet. Vi kunde sätta Fz=0 eftersom vi var i det tvådimensionella fallet och få alla derivator med avseende på z till noll, men när går vi sedan över till det tredimensionella fallet för att kunna utnyttja kryssprodukten?

Guggle 1364
Postad: 1 maj 2018 11:25 Redigerad: 1 maj 2018 11:32
JnGn skrev :

alla derivator med avseende på z är noll, vad händer då med övriga termer i tex exFzy-Fyz vad händer med Fyz

Ditt fält är F=(Fx,Fy,Fz)=(2xy,x2-y2,0)

Eftersom varken x2x^2 eller y2y^2 innehåller något z blir deras derivator 0. Alltså

zFy=z(x2-y2)=0

 

Ditt fält innehåller inga z någonstans. Alla partiella derivator med avseende på z, dvs z, måste därför vara 0.

Sedan förstår jag inte riktigt övergången mellan det tvådimensionella och tredimensionella fallet.

Det enda vi gör är att ersätta fältet F=(Fx,Fy) med fältet F=(Fx,Fy,0). Källor och virvlar intar en central roll i vektoranalysen. Den här uppgiften kräver inte att vi utökar fältet, men det kan ändå vara bekvämt att göra det.

  • Det är lättare att komma ihåg ×F=0 som villkor för ett virvelfritt fält. Det bygger också på en djupare förståelse.
  • Det är lättare att komma ihåg ·F=0 som ett villkor för ett källfritt fält. Det bygger också på en djupare förståelse.
  • Fält i 3 dimensioner är allmängiltiga, fält i två dimensioner är i bästa fall en krystad överförenkling. Potentialer bygger bland annat på singulära käll- och virvelfördelningar, rymdkällor, ytkällor, ytdipoler, linjekällor och punktkällor, begrepp som inte kommer till sin rätt i två dimensioner.

Om du inte är bekväm med att utöka fältet till 3 dimensioner kan du istället åberopa kravet att differentialformen Fxdx+Fydy ska vara exakt vilket leder till samma villkor och samma slutsats.

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 2 maj 2018 14:08

jag är med på att zFy och zFx blir noll eftersom fältet Fx=(2xy) och Fy=x2-y2 inte innehåller något z, men då vi har Fz menar vi alltså Fz=0 eftersom vi är i 3 där vi lade till z=0 i F=2xy,x2-y2,0

Guggle 1364
Postad: 2 maj 2018 16:02 Redigerad: 2 maj 2018 16:20
JnGn skrev:

jag är med på att zFy och zFx blir noll eftersom fältet Fx=(2xy) och Fy=x2-y2 inte innehåller något z, men då vi har Fz menar vi alltså Fz=0 eftersom vi är i 3 där vi lade till z=0 i F=2xy,x2-y2,0

Ja, det stämmer. Fz=0F_z=0.

Kvar av hela harangen ×F\nabla \times \mathbf{F} blir bara ezFyx-Fxy\mathbf e_z\left( \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right )

Det står inom parentesen är noll om

Fyx=Fxy\boxed{\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial F_x}{\partial y}}

Detta är ett nödvändigt och tillräckligt villkor på F för att F ska vara ett konservativt fält i ett öppet enkelt sammanhängande område i 2\mathbb{R}^2. Kan du visa att de båda partiella derivatorna är lika har du visat att fältet är konservativt.

Svara
Close