Potentialfält

Det är lämpligt att först försöka hitta enklast möjliga parametrisering. Ett första steg som förenklar betydligt är att inse att det går att sätta y(t)=0.

Hej. Och tack så mycket, men vad menar du med att y(t)=0, och inte det r(t)

suad skrev:

Hej. Och tack så mycket, men vad menar du med att y(t)=0, och inte det r(t)

Jag menar r(t)=(x(t),y(t))=(x(t),0). I lösningsförslaget har de använt parametriseringen x(t)=t och y(t)=0.

Hej,

Kurvan $\gamma$ startar i punkten $r(0) = (1,0)$ och slutar i punkten $r(2\pi) = (e^{2\pi},0)$. Skapa en annan kurva $\Gamma$ som startar i punkten $(e^{2\pi},0)$ och slutar i punkten $(1,0)$ så att den sammanfogade kurvan $\gamma \cup \Gamma$ startar i punkten $(1,0)$ och slutar i punkten $(1,0)$.

Då fältet $F$ är ett potentialfält är därför kurvintegralen längs den sammanfogade kurvan lika med noll.

    $\displaystyle 0 = \oint_{\gamma\cup\Gamma} F\cdot dr = \oint_\gamma F\cdot dr + \oint_\Gamma F\cdot dr \Longleftrightarrow \oint_\gamma F\cdot dr = -\oint_\Gamma F\cdot dr=\oint_{-\Gamma}F\cdot dr.$

Beräkningen visar att du kan beräkna den sökta kurvintegralen indirekt genom att välja kurvan $\Gamma$ så att kurvintegralen längs $\Gamma$ blir bekväm att beräkna.

I facit har de valt $\Gamma$ till att vara en rät linje som sammanbinder de två punkterna $(e^{2\pi},0)$ och $(1,0)$, det vill säga $-\Gamma$ parametriseras som $r(t) = (t,0)$ där $t$ startar i $t=1$ och slutar vid $t=e^{2\pi}$; då blir $dr(t) = r^\prime(t) dt = (1,0)dt$ så att kurvintegralen längs $-\Gamma$ beräknas till

    $\displaystyle\oint_{-\Gamma}F\cdot dr = \int_{t=1}^{e^{2\pi}}\left(e^t+0,t+e^0\right)\cdot\left(1,0\right)dt = \int_{1}^{e^{2\pi}}e^t\,dt = e^{e^{2\pi}}-e.$