Potentialfält

Du får integrera t.ex y-derivatan m.a.p y,  så får du U. Integrationskonstanten är då en funktion av x. 

Om du integrerar den första m.a.p x så får du 

$U(x,y) = x^2y+f(y)$

deriverar du denna nu så fås 

$\frac{\partial U}{ \partial y} = x^2+f'(y)$

Detta stämmer endast om $f'(y) = -y^2$ så vi får att $U(x,y) = x^2 y - \frac{y^3}{3} + C$. Hur ska du nu välja C för din potentialfunktion?

Konservativt eftersom dQ/dx=dP/dy. Båda är ju 2x.

emmynoether skrev :

Om du integrerar den första m.a.p x så får du 

$U(x,y) = x^2y+f(y)$

deriverar du denna nu så fås 

$\frac{\partial U}{ \partial y} = x^2+f'(y)$

Detta stämmer endast om $f'(y) = -y^2$ så vi får att $U(x,y) = x^2 y - \frac{y^3}{3} + C$. Hur ska du nu välja C för din potentialfunktion?

okej jag förstår $U(x,y)=x^{2}y+f\left(y\right)$ och $\frac{\delta U}{\delta y}=x^2+f\text{'}\left(y\right)$ men jag är inte riktigt med på hur man vet att det endast stämmer om $f´\left(y\right)=-y^2$

sen blir ju den primitiva funktionen av $-y^2$ blir ju $-\frac{y^3}{3}$ så där är jag med.

Jämför ditt x-integrerade och sedan y-deriverade uttryck med det givna uttrycket för dU/dy. Det går inte ihop om inte f'(y) = -y^2. 

Det jag ser i svaret är att med kravet U(0,0)=0 får vi C=0, så den sökta potentialfunktionen är

U(x,y)=$x^{2}y-\frac{y^3}{3}$

Hej!

Om det finns ett skalärfält $U\,:\, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sådant att vektorfältet

    $\displaystyle (P,Q) = \nabla U$

så är vektorfältet (per definition) konservativt.

Villkoret betyder att skalärfältets partiella derivator ska vara sådana att

    $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x} = P(x,y) = 2xy$

vilket medför att $U(x,y) = x^2y + f(y)$ för någon funktion $f$ och 

    $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y} = Q(x,y) = x^2-y^2$

vilket medför att $f'(y) = -y^2$ varför skalärfältet kan skrivas

    $\displaystyle U(x,y) = x^2y-\frac{1}{3}y^3 + C$

där $C$ betecknar en godtycklig konstant.

Albiki

okej jag tror att jag förstår nu.

Först så ska man integrera 2xy med avseende på x och får då $x^{2}y+f\left(y\right)$ sedan derivera med avseende på y och får $x^2+f´\left(y\right)$ och för att $x^2+f´\left(y\right)=x^2-y^2$ måste f´(y)=$-y^2$ och den primitiva funktionen blir då $-\frac{y^3}{3}$$+C$ av det får vi då U(x,y)=$x^{2}y-\frac{y^3}{3}+C$

Med U(0,0) = 0 blir C=0

Jocke011 skrev :

okej jag tror att jag förstår nu.

Först så ska man integrera 2xy med avseende på x och får då $x^{2}y+f\left(y\right)$ sedan derivera med avseende på y och får $x^2+f´\left(y\right)$ och för att $x^2+f´\left(y\right)=x^2-y^2$ måste f´(y)=$-y^2$ och den primitiva funktionen blir då $-\frac{y^3}{3}$$+C$ av det får vi då U(x,y)=$x^{2}y-\frac{y^3}{3}+C$

Med U(0,0) = 0 blir C=0

Blir det rätt? det är så jag förstod

Det ser bra ut.

Vill också slå ett slag för att kolla andraderivatorna på U flr att kontrollera om det är ett potentialfält. 

d^2U/(dxdy)=d^2U/(dydx) 

måste gälla om U ska vara ett potentialfält.