Potentaialfält

Derivatan av $\arctan(y)$ är:

$\dfrac{\partial}{\partial y}[\arctan\left(y\right)]=\dfrac{1}{1+y^2}$

Alltså blir derivatan av $x\arctan(y)$ m.a.p. $y$:

$\dfrac{\partial}{\partial y}[x\arctan\left(y\right)]=\dfrac{x}{1+y^2}$

AlvinB skrev:

Derivatan av $\arctan(y)$ är:

$\dfrac{\partial}{\partial y}[\arctan\left(y\right)]=\dfrac{1}{1+y^2}$

Alltså blir derivatan av $x\arctan(y)$ m.a.p. $y$:

$\dfrac{\partial}{\partial y}[x\arctan\left(y\right)]=\dfrac{x}{1+y^2}$

 och då ska ju $\frac{x-y}{1+y^2}$ sättas lika med den derivatan: $e^x \frac{x}{1+y^2}+\phi'(y)$

$\frac{x-y}{1+y^2}=e^x\frac{x}{1+y^2}+\phi'(y)$ 

detta måste ju innebära att $e^x=0$ och $x=0$ men då blir ju allt noll. Hmmm, vet inte hur jag ska fortsätt lösa detta?

Med $x$-derivatan får du ju fram att:

$U\left(x,y\right)=e^x+x\arctan\left(y\right)+\varphi\left(y\right)$

Derivatan med avseende på $y$ av detta är:

$\dfrac{\partial}{\partial y}[e^x+x\arctan\left(y\right)+\varphi\left(y\right)]=\dfrac{x}{1+y^2}+\varphi'\left(y\right)$

(derivatan av $e^x$ med avseende på $y$ är ju noll!)

$$\begin{gathered} f(x, y)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}(e^x+arc\tan (y), \frac{x-y}{1+y^2}) \\ \int e^x+arc\tan \left(y\right) dx\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{e}^x+x·arc\tan \left(y\right)\hspace{0.17em}+\phi \left(y\right) \\ \int \frac{x-y}{1+y^2}=\int \left(\frac{x}{1+y^2}-\frac{y}{1+y^2}\right)dy \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

AlvinB skrev:

Med $x$-derivatan får du ju fram att:

$U\left(x,y\right)=e^x+x\arctan\left(y\right)+\varphi\left(y\right)$

Derivatan med avseende på $y$ av detta är:

$\dfrac{\partial}{\partial y}[e^x+x\arctan\left(y\right)+\varphi\left(y\right)]=\dfrac{x}{1+y^2}+\varphi'\left(y\right)$

(derivatan av $e^x$ med avseende på $y$ är ju noll!)

 Okej, men det ska väl ändå sättas lika med $\frac{x-y}{1+y^2}$?

Ja, men tänk på att du kan skriva det som:

$\dfrac{x}{1+y^2}-\dfrac{y}{1+y^2}$

vilket gör det ganska lätta att identifiera vad $\varphi'(y)$ är.