Potensserier och fakultet

Så du vill undersöka om potensserien är konvergent? Och du använder att serien är konvergent om 

$\lim_{k \to \infty} | \frac{a_{k+1}}{a_k} x | < 1$

$(2k+2)! = (2k+2)(2k+1)(2k)...$

Men, skulle du kunna använda något jämförelsekriterium?

Aa precis lite otydligt men undersöka om serien är konvergent ja. 

Ja, jag tänkte använda mig utav jämförelsesatsen där man får ett ändligt gränsvärde och ett gränsvärde som går mot o då k$\to \infty$. 

Så efter förenklingen så bryter jag ut största faktorn och jämför den med en standardserie.

Men jag tycker det svåraste (som egentligen säkert är lätt) är att se att (2k+2)!=(2k+2)(2k+1)(2k)!  

Jag är inte riktigt med på vad du menar.

Om du använder kvotkriteriet får du:

$\lim_{k \to \infty} | \frac{a_{k+1}}{a_k} x | = \lim_{k \to \infty} | \frac{(2k)! (k+1)!}{k!(2(k+1))!} x | =$

 $\lim_{k \to \infty} | \frac{1}{2(2k+1)} x | = 0$ för alla $x$. Så potensserien konvergerar absolut.

Men, om man använder Direct comparison test,

med $a_k = \frac{k!}{(2k)!} x^k$ och $b_k = \frac{1}{k!} x^k$ så gäller att

$|a_k| \leq |b_k|$ för alla $x$ och $k$, och

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} x^k = e^x$ för alla $x$.

Sorry, tror jag blandade ihop det med jämförelsesatsten för serier. 

$\frac{(k+1)\left|x\right|}{(2k+1)(2k+2)}=\frac{k}{k^2}\times \frac{(1+{\displaystyle \frac{1}{k}})\left|x\right|}{(2+{\displaystyle \frac{1}{k}})(2+{\displaystyle \frac{2}{k}})}=0, då k\to \infty$

så kan man lösa den eller? och då betyder det att den är konvergent för alla x.

Ja, serien konvergerar absolut för alla $x$.

$\sum_{k=0}^{\infty} | \frac{k!}{(2k)!} x^k | \leq e^x$ för alla $x$.