Potensserier

Hej, jag önskar hjälp med att förstå lösningen på följande uppgift.

Vi har potensserien $\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k$ . Beteckna seriens summa med $f(z)$ . Bestäm potensserien för $\int_0^z f(w)dw$ och summera den för $|z|<1$ .

I facit står det att man får serien för $\int_0^z f(w)dw$ genom att integrera termvis och ger följande lösning: $\int_0^z f(w)dw=\sum_{k=0}^\infty z^{k+1}=\sum_{k=1}^\infty z^k =\frac{z}{1-z}$ .

Men jag förstår inte riktigt frågan och vad $f(w)dw$ är för något och varför de får den till summan av $z^k$ . Jag har försökt att läsa mer om potensserier och kollat på liknande uppgifter men blir inte riktigt klokare. All hjälp uppskattas med att få hjälp att förstå detta! Tack på förhand

Betrakta en enskild term (k+1)z^k.

Integrera den med avs på z. Du får z^k+1

Summan av z^k+1 när k går från 0 till oändligheten (|z| < 1) är

z+z²+z³+… = z/(1–z)

Derivera z/(1–z) ger 1/(1–z)²

Så summan av den givna serien är 1/(1–z)²

Kolla om jag skrivit rätt, men det tror jag är idén.

Här skulle det vara bra att veta på vilken kurs denna uppgift är ställd.

Om vi förutsätter någon kännedom om komplex analys så kan vi konstatera att beteckningen Int f(w) dw från 0 till z betyder en Linjeintegral av f(w) längs linjen från origo till punkten z i komplexa talplanet.

En Potensserie i en komplex variabel konvergerar absolut och likformigt på kompakta (här =slutna och begränsade) delmängder av en öppen cirkelskiva med radien r >=0. r kallas konvergensradie. På randen av skivan kan den konvergera eller divergera. (den är t ex divergent i randpunken z=1). Det är den Likformiga konvergensen som tillåter oss att integrera termvis. I det aktuella exemplet är cirkelskivan given som en öppen skiva centrerad i origo med radien =1, Om vi integrerar termen (k+1) w^k dw blir den primitiva fknen w^k+1 och sätter vi in gränserna 0 och z blir termen z^k+1 precis som texten säger. Serien blir alltså en geometrisk serie med kvoten=1 och därifrån kan du följa Mogens resonemang. Om det här är fikonspråk för dig så återkom.

Tack Tomten för inspel,

Det är förstås viktigt att veta om man kan integrera denna serie termvis. Jag struntade i den frågan (och i integralen), fokuserade helt på den idén att

integrera serie med okänd summa –summera serie med känd summa –derivera summan.

Det är en listig omväg. Men man måste förstås veta att den inte går över förbjuden mark.

Svara

Visa senaste svar