Potensserier

Hej!

Är ganska ny inom detta ämne i envariabelanalysen, så behöver hjälp på en uppgift!

"För vilka reella tal x är följande serier konvergenta?"

$\sum_{k = 1}^{\infty} (((e^{\frac{1}{k}}) - 1) x^{k})$

Går inte riktigt bra med rot eller kvotkriteriet tycker jag, kan visa hur jag gjorde med kvotkriteriet:

$\frac{(e^{\frac{1}{k + 1}} - 1) x^{k + 1}}{(e^{\frac{1}{k}} - 1) x^{k}} = (e^{\frac{- 1}{k (k + 1)}} - 1) x \to - \frac{1}{e} x d å k \to \infty s å) - \frac{x}{e} < 1, d v s - x < e$ ,alla uttryck ska vara i absolutbelopp. glömde det

Detta är fel, konvergensområdet ska vara $- 1 \leq x < 1$ . Rotkriterier gick inte heller bra, så vad kan jag göra och vad har jag gjort fel?

Händer det något trevligt om man analyserar en integral som delvis motsvarar summaserien?

Hej! Här är ett lösningsförslag till uppgiften (trots att tråden nu är relativt gammal).

Låt $a_{k} = e^{\frac{1}{k}} - 1$ . Vi har att potensserien $\sum_{}^{} a_{k}$ konvergerar (absolut) för de $x$ inom dess konvergensradie.

Vi vet att konvergensradien $R$ uppfyller $\frac{1}{R} = \lim_{k \to \infty} s u p \sqrt[k]{a_{k}}$ .

Efter taylorutveckling kring t=0 fås att $e^{\frac{1}{k}} - 1 = \frac{1}{k} + O (\frac{1}{k^{2}})$ och speciellt gäller alltså att $\sqrt[k]{e^{\frac{1}{k}} - 1} = \sqrt[k]{\frac{1}{k} + O (\frac{1}{k^{2}})} = {(\frac{1}{k})}^{\frac{1}{k}} {(1 + O (\frac{1}{k}))}^{\frac{1}{k}} = \frac{1}{e^{\frac{\ln k}{k}}} e^{\frac{\ln (1 + O (\frac{1}{k}))}{k}} \underset{}{\to} 1, k \underset{}{\to} \infty$ . Konvergensradien är alltså $R = 1$ och vår potensserie konvergerar absolut $\forall x \in (- 1, 1)$ .

Fixera nu $x = 1$ och studera serien $\sum_{k = 1}^{\infty} (e^{\frac{1}{k}} - 1) = \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{k} + O (\frac{1}{k^{2}}))$ och låt $b_{k} = \frac{1}{k} + O (\frac{1}{k^{2}})$ . Låt sedan $c_{k} = \frac{1}{k}$ s.a. $\sum_{k = 1}^{\infty} c_{k}$ divergerar. Notera att $b_{k} \geq 0$ och $c_{k} > 0 \forall k$ , dvs vi har två positiva serier bestående av b_k och c_k. Det gäller då att $|\frac{b_{k}}{c_{k}}| = k |\frac{1}{k} + O (\frac{1}{k^{2}})| = 1 + O (\frac{1}{k}) \underset{}{\to} 1 > 0, k \underset{}{\to} \infty$ vilket ger enligt jämförelsekriteriet (på gränsvärdesform) att $\sum_{}^{} b_{k}$ divergerar.

Fixera sedan $x = - 1$ och studera (den alternerande) serien $\sum_{k = 1}^{\infty} {(- 1)}^{k} (e^{\frac{1}{k}} - 1)$ där precis som förut $b_{k} = e^{\frac{1}{k}} - 1$ . Vi har nu att $|b_{k}| = b_{k}$ är avtagande för växande k, och dessutom att $b_{k} \underset{}{\to} 0, k \underset{}{\to} \infty$ . Då ger Leibniz kriterium att serien är konvergent.

Alltså konvergerar vår potensserie $\forall x \in [- 1, 1)$ .

Svara