9 svar
487 visningar
Shiya 103
Postad: 15 maj 2020 12:24 Redigerad: 15 maj 2020 12:28

Potensserielösning till differentialekvationen

Fråga:
Använd metoden med potensserier för att lösa differentialekvationen

(x-1)y´(x)+y(x)=0 med begynnelsevillkoret y(1/2) = 1.

Har begynnelsevärdesproblemet

 (x-1)y´(x)+y(x)=0, y(1)=17


någon lösning som ges av en potensserie som konvergerar i en omgivning av x = 1?

Min ide är:

y=k=0akxk,  här y(1/2)=17 därför är a0=17 och y(x)=k=0ak(x-12)k.

Jag fick efter beräkningen

a0=a1=17, och ak+1=ak , k=1,2,3,....

Svaret blir y(x)=K=017(x-12)k.

Men jag har räknat DE som vanligt sätt, då blir

y=-172(x-1).

Därför är jag osäker. Kan någon hjälpa mig att gå  vidare.

Tack förhand!

Qetsiyah 6567 – Livehjälpare
Postad: 16 maj 2020 22:50

Bump

Laguna Online 30472
Postad: 17 maj 2020 06:16

Var kommer y(1) = 17 ifrån? Din lösning y är inte definierad för x = 1.

Shiya 103
Postad: 18 maj 2020 20:51
Laguna skrev:

Var kommer y(1) = 17 ifrån? Din lösning y är inte definierad för x = 1.

Hej,

Jag har klarat den här uppgiften, tack.

Setew 2 – Fd. Medlem
Postad: 18 maj 2020 22:17

Kan du dela med dig av lösningen, har en liknande uppgift som jag fastnat på.

Shiya 103
Postad: 19 maj 2020 02:21
Setew skrev:

Kan du dela med dig av lösningen, har en liknande uppgift som jag fastnat på.

Sätt y(x) = K=0 ak(x  12)k.  Då är y'(x) = K=1 k ak(x  12)k-1 . Vi kan skriva (x1)y´(x)+y(x)=0(x12-12)y´(x)+y(x)=0Insatt ger detta att  0= (x  1/2)k=1 k ak(x  12)k-1 (1/2)k=1 k ak(x  12)k-1 + K=0 ak(x  12)k= = k=1 k ak(x  12)k 12a1+k=1 (k + 1)ak + 1(x  12)k + a0+K=1 ak(x  12)k 

Enligt teori    a0-12ak=0ak=2a0

(k+1)ak-12 (k + 1)ak+1 =0ak+1 =2ak.a0=17 ger att  ak=17·2kDå y(x) =k=0ak(x12)k=17k=0(2x1)k=172-2x.

Shiya 103
Postad: 19 maj 2020 09:13 Redigerad: 19 maj 2020 09:14

Vi kan göra det på annat sätt också, dvs.

 y(x)=k=0akxk= a0+k=1akxk,  y´(x)= k=1kakxk-1 =k=0(k+1)ak+1xk=a1+k=1(k+1)ak+1xk , 

Insättning ger efter beräkning

xy´-y´+y=0  y(x)=a0k=0xk

om vi använder y(1/2) =17 får via0=172.

Då svaret blir samma som ovanstående. 

Setew 2 – Fd. Medlem
Postad: 19 maj 2020 10:39

Tack!

Sixten187 1 – Fd. Medlem
Postad: 20 maj 2020 12:32

Hej! Tack för att du delar med dig av lösningen. Vad menar du med "enligt teori" ?

Shiya 103
Postad: 20 maj 2020 15:53
Sixten187 skrev:

Hej! Tack för att du delar med dig av lösningen. Vad menar du med "enligt teori" ?

Svara
Close