Potensserie

n=0 termen i serien.

Vill du utgå från potensserien och visa att den är lika med funktionen du angivit? Detta är ett svårt problem, särskilt med tanke på att det vanligtvis är knepigt att bestämma potensseriens konvergensområde och därmed funktionens definitionsmängd.

Albiki skrev:

Vill du utgå från potensserien och visa att den är lika med funktionen du angivit? Detta är ett svårt problem, särskilt med tanke på att det vanligtvis är knepigt att bestämma potensseriens konvergensområde och därmed funktionens definitionsmängd.

 Den ursprungliga uppgiften var att bestämma ett uttryck för serien$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{4n^2-1}$. För att få ett enkla uttryck deriverade jag serien termvis tre gånger och erhöll$\sum _{n=0}^{\infty }2n·x^{2n-2} =\frac{2}{(1-x^2{)}^2}$. Sedan integrerade jag högerledet tre gånger och får ett korrekt svar (om jag sätter min andra integrationskonstant som $-1$). 

Förslag på lösning nedan:

Det här är ett sånt där fall där att man känner till svaret förenklar beviset. Alternativ härledningsmetod:

Om man redan accepterar standardserien

$\ln(1 + x) = \sum_{k = 1}(-1)^{k + 1}\frac{x^k}{k}$

samt den komplementära

$\ln(1 - x) = \sum_{k = 1}(-1)^{2k + 1}\frac{x^k}{k}$

och därmed

$\ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-ln(1-x)=\sum _{k=1}\left[\right(-1{)}^{k+1}-(-1{)}^{2k+1}]\frac{x^k}{k}$

Där de två (-1)-termerna inte tar ut varandra endast om k är ett udda tal k = 2n - 1 i vilket fall båda termerna är 1 och vi får

$\ln \frac{1 + x}{1 - x} = 2 \sum_{n = 1}\frac{x^{2n - 1}}{2n - 1}$

Från vilket vi får göra två sista manipulationer för att bryta ut den avsedda serien:

$\ln \frac{1 + x}{1 - x} = \frac{2}{x}( \sum_{n = 0}\frac{x^{2n}}{2n - 1} + 1)$

Därefter är det bara fråga om en algebraisk omskrivning. 

(Förutsätter att x är sådant att vi kan strunta i absolutbelopp)