Potensserie.

Det är lite oklart vad du vill ha hjälp med. Om det är uppgiften i första bilden du vill få hjälp med så kan du göra enligt följande.

Fixera $x \in [1,\infty )$, det gäller då att $f_k\left(x\right) =kx{e}^{-k{x}^2} \underset{}{\to }0, k\underset{}{\to }\infty$ punktvis. Det gäller vidare att funktionsföljden konvergerar likformigt för de $x \in [1,\infty )$ mot nollfunktionen om $\underset{k\to \infty }{\lim }sup\left|f_k-0\right| = 0$.

Fortsätt studera $x \in [1,\infty )$. Vi har att $sup\left|kx{e}^{-k{x}^2}\right| = max\left(kx{e}^{-k{x}^2}\right) =k{e}^{-k} \underset{}{\to }0, k\underset{}{\to }\infty .$ Alltså konvergerar funktionsföljden likformigt för de x i $[1,\infty )$.

Fixera nu istället $x \in [0,\infty )$, det gäller att $f_k$ konvergerar på samma sätt punktvis mot nollfunktionen.

Vi har alltså för de $x \in [0,\infty )$ att

$sup\left|kx{e}^{-k{x}^2}\right| = max\left(kx{e}^{-k{x}^2}\right)$, varvid maximum inträffar vid $x = \frac{1}{\sqrt{2k}}$ (vanligt endimensionellt optimeringsproblem).

Detta ger $sup\left|kx{e}^{-k{x}^2}\right| = max\left(kx{e}^{-k{x}^2}\right) = \frac{k}{\sqrt{2k}}{e}^{-\frac{k}{2k}}=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{2e}}$vilket ej går mot noll då k går mot oändligheten. Alltså konvergerar funktionsföljden ej likformigt för de $x \in [0,\infty )$.

Satsen säger att ANTINGEN konvergerar potensserien endast om x = 0 ELLER så konvergerar potensserien om x ligger tillräckligt nära ett visst tal  R (och divergerar annars) ELLER så konvergerar det för alla x.

Hej!

Varje potensserie i Satsen definierar en funktion, $f$, enligt

    $\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k.$ 

Funktionens definitionsmängd betecknas $D_f$, så att funktionen kan skrivas $f : D_{f} \to \mathbb{R}.$ Satsen handlar om hur definitionsmängden ser ut. 

1. Definitionsmängden är en en-punktsmängd, $D_f=\{0\}.$
2. Definitionsmängden är en öppen cirkelskiva med centrum i $0$, $D_f = \{x:|x|<>$
3. Definitionsmängden är den reella tallinjen $D_f = \mathbb{R}.$