Potensserie

Tjena har problem med att förstå varför potensserien

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k!}{(2 k)!} x^{k}$

är konvergent för allt reela tal x. Använder kvotkriteriet för att lösa ut den och då får jag att x ska vara strängt mellan -2 och 2. Men varför kan den anta alla värden för x och vara konvergent?

Jag förmodar att du felaktigen tänkt dig

$\frac{k!}{(2k)!} = \frac{1}{2}$

men det stämmer inte.

Fakulteter representerar upprepad multiplikation. Ta exemplet med k = 3

$\frac{3!}{(2\cdot 3)!} = \frac{3!}{(6)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{6 \cdot 5 \cdot 4}$

dvs inte 1/2.

Reglerna för hur man förenklat uttryck med fakulteter kräver att man expanderar fakulterna som produkter

Sätt a₀ =0, a₁ =1 och a_n=0 fär alla n>1. Potensserien Summa a_n xⁿ när n varierar från 0 till oåndl. blir då konvergent med summan = x för alla x. Detta är ett exempel på en sådan potensserie som du undrar över. Det är alltså inte omöjligt. (Det här är inte svaret på den ursprungliga uppgiften.₎

Svara