Potenslag

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Vi tar det enklare exemplet $\frac{2}{4}$.

Om du nu förkortar med $2$ så dividerar du både täljare och nämnare med $2$, på följande sätt: $\frac{\frac{2}{2}}{\frac{4}{2}}$

Eftersom täljaren $\frac{2}{2}$ är lika med $1$ och nämnaren $\frac{4}{2}$ är lika med $2$ så får du resultatet $\frac{1}{2}$.

Ett annat sätt att se det är att skriva täljaren som $2\cdot1$ och nämnaren som $2\cdot2$ och att din faktorisering då blir $\frac{2}{4}=\frac{2\cdot1}{2\cdot2}$, vilket efter "strykning" av gemensanna faktorer blir $\frac{1}{2}$.

==========

Det är precis samma sak med din uppgift.

Det gäller alltså att $\frac{3}{3}$ är lika med $1$, inte $0$.

Det där förstår jag, det jag inte förstår är när man förenklar bort alla faktorer i täljaren så att det inte finns något kvar. Då borde det se ut 

  0            3    3  3

  —–       •-- •—•—

3•3•3     3    3    3

Till höger har jag faktoriserat ut motsvarande faktorer i täljaren som nämnare och vad återstår då i täljaren? Inget i min värd, men då hör jag folk på youtube säga tex ”vi sätter in en etta där så de inte är tomt”. Varje led i de utbrutna bråken är ju lika med ett så det är jag med på. Men om man multiplicerar bråk utan täljare med ett borde det bli noll efter som inget i täljaren borde vara noll i täljaren. Hänger ni med?

Det blir aldrig "tomt" när man förkortar. Och det är inte fråga om att "sätta in en etta så det inte är tomt", alltså ersätta nollan du skriver med en etta. Eftersom alla tal kan skrivas som talet gånger ett, se Yngves exempel, finns ettan kvar om du förkortar bort täljaren.

Säg att vi vill skriva 3/4 som produkten av två bråk. Som du ställde upp det i ditt exempel skulle det bli $\frac{3}{2*2} = \frac{0}{2} * \frac{3}{2} = 0$

Men det tror jag inte att du menar. Det blir förstås en etta i första täljaren.

Hmm,

Jag undrar om vi pratar om samma sak här,  kanske är lite svårt att förstå när jag skriver på telefonen, har lånat en dator nu så skall vi se om det blir tydligare...

Det är alltså den här lagen 

$a\wedge -x=\frac{1}{a\wedge x}$

Och detta talet har jag valt som ett exempel

$\frac{3\times 3\times 3}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3}$

Då gör jag som innan när jag förenklar

$\frac{3}{3*3*3*3}\times \frac{3}{3}\times \frac{3}{3}=\frac{3}{3*3*3*3}\times 1\times 1\times 1$

Men om man sen skall förenkla bort ytterligare en trea i täljaren och nämnaren

då borde det bli

$\frac{0}{3*3*3}\times 1\times 1\times 1\times 1$

vet ju att det inte stämmer men hur skall jag tänka för att förstå var en etta kommer ifrån i täljaren?

vet ju att man subtraherar exponenterna vid divison av två potenser men vill förstå detta, känner att jag inte riktigt greppar hur man härleder formlen.

Att "förenkla bort", eller förkorta, innebär ju att man delar täljaren och nämnare med en gemensam faktor. Som Yngve visade med ett annat exempel innebär förenklingen att du tar 3/3 i täljare och nämnare. Som ger kvar en etta.

Det är inte potenslagen som ger att 3/3 = 3¹/3¹ = 3^1-1 = 3⁰ du är inne på? Tal upphöjda till noll är ett.

3/3 = 1, inte 0, eller hur?

Hatte skrev:

...

Då gör jag som innan när jag förenklar

$\frac{3}{3*3*3*3}\times \frac{3}{3}\times \frac{3}{3}=\frac{3}{3*3*3*3}\times 1\times 1\times 1$

Men om man sen skall förenkla bort ytterligare en trea i täljaren och nämnaren

då borde det bli

$\frac{0}{3*3*3}\times 1\times 1\times 1\times 1$

vet ju att det inte stämmer men hur skall jag tänka för att förstå var en etta kommer ifrån i täljaren?

Det gäller inte att 3 = 3*0.

Det gäller att 3 = 3*1.

Därför blir din täljare 3*1, inte 3*0, och när du sedan "stryker" ytterligare en trea från täljare och nämnare så får du 1 kvar i täljaren, inte 0.

Okej,

Men isåfall kanske de genomgångar jag har sett är lite förvirrande. Man borde ju inte kunna "faktorisera" eller "bryta ut" den sista faktorn i täljaren och "stryka den" utan där får man förenkla då motsvarande i täljaren och nämnaren på den sista trean? för bryter man ut även den så finns det ju inget kvar i täljaren per definition. Dock, finns det inte nån regel som säger att man skall förenkla HELA uttrycket i nämnaren samt HELA i täljaren?

tack för all hjälp!

"bryter man ut även den så finns det ju inget kvar i täljaren per definition" låter inte rätt. Hur menar du att "bryta ut" är definierat?

Delar man ett tal med sig självt blir det 1. Subtraherar man ett tal från sig självt blir det 0. 0 kanske jag kan kalla "inget", men tomt på papperet kan det inte bli.

Jag menar att definitionen av att bryta ut eller att faktorisera är att särskriva,bråk, som i detta fallet som jag gjorde?! Och om man då bryter ut alla faktorer i täljaren så blir det inget kvar, därför borde man ju lämna kvar en trea isåfall. Sen var det också frågan om man behöver multiplicera hela ledet i täljaren och nämnaren om man förenklar?

Är du med på att talet 3 kan skrivas som 1*3?

Är du med på att talet 3 inte kan skrivas som 0*3?

I så fall borde det inte vara något problem för dig att skriva bråket $\frac{3^3}{3^6}$ som $\frac{1\cdot3\cdot3\cdot3}{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3}$ och sedan "stryka" 3 st treor från täljaren och 3 st treor från nämnaren och att du då får kvar $\frac{1}{3\cdot3\cdot3}=\frac{1}{3^3}$

Om du ändå inte riktigt hänger med på det så kan du ju använda metoden förkortning istället för det lite slarvigare "strykning".

Dvs att du dividerar både täljare och nämnare med $3^3$. Din uträkning blir då $\frac{3^3}{3^6}=\frac{3^3/3^3}{3^6/3^3}=\frac{1}{3^3}$

Okej men jag hänger med på att man kan förenkla genom att göra lika på både täljare och nämnare så att 3/3 blir 1/1=1. Tror att det är när jag tänker att man plockar loss faktorer det jag kallar ”bryta ut” så ser jag det som ett separat tal som man sen tar bort för att det varken gör från eller till när man multiplicerar det med det första talet då det är lika med ett. Men man borde kanske inte kunna bryta loss den sista faktorn i täljaren enligt nån regel? Men jag tänker att jag förenklar så har jag ett argument för att man gör så då antar att jag får nöja mig så.

Hatte skrev:

...så ser jag det som ett separat tal som man sen tar bort för att det varken gör från eller till när man multiplicerar det med det första talet då det är lika med ett. 

Jag förstår inte vad du menar här.

Kan du ge ett exempel?

Det jag menar är att, låt oss säga att vi har två tal här.

3/27•3/3 tillexempel.

det är ju två olika tal, det högra talet kan man ju förenkla bort för att det är, gånger ett, det första talet.

men man skulle också kunna skriva det som (3•3)/(3•27) och sen skriva det som 3^2/3^4 och då är det ett liknande uttryck som vi pratade om från början.  Om man då ska förenkla det tal man nu skrivit ihop genom att man kan ”bryta loss” eller faktorisera till flera bråk, alltså flera olika tal som det första talet jag skrev i det här inlägget. Då skulle man kunna skriva det som

  3•3                3          1        

———-      =  ———  • —

3•3•3•3       3•3•3    1

men nu när man bara har en faktor kvar i täljaren så borde man inte kunna bryta loss den faktorn till ännu ett nytt bråk till, för då skulle det ursprungliga bråket inte ha någon täljare kvar. Det skulle då se ut som

                1      1

———-• ——•—-

3•3          1     1

Alltså två utbrutna,för mig egna tal till höger och ursprungliga talet till vänster. Det borde inte gå att bryta ut den sista faktorn där, det är min poäng.

dock om man ser det som att man förenklar en del av samma bråk som ni gett exempel på

som

3•3           3•1            1•1             1

———— =————- =———- = ——

3•3•3•3   3•3•3•1   3•3•1•1   3•3

Då funkar det bättre för mig, så det är där det är lite förvirring.

Sen undrade jag även om det inte gäller att man måste förenkla hela täljare och hela nämnaren när man förenklar som ovan och inte bara vissa av faktorerna, men det kanske inte gäller pga av att det är multiplikation?

Samma sak som att det här inte går, då blir det tomt i täljaren i sista bråket. Utan förenkling här

3•3             3             3                               3     3                  

———— =————•-———- ≠ —————• — •——

3•3•3•3   3•3•3      3                  3•3       3    3        

Nej, det blir inte tomt, det blir 1.

Tror det är den här regeln jag missbrukar... fast omvänt än vad som står. Faktoriserat istället för sätter ihop.

Då blir det 1, inte 0 när "ingenting" är kvar.

Yes tack för hjälpen 👌🏻