potensfunktioner och exponentialfunktioner

Om y(x) är temperaturen x timmar efter 21:00 så gäller det att

$y(x) = 28\cdot a^x$

Eftersom vi vet att $y(3) = 25.6$ så gäller det att

$25.6 = 28 \cdot a^3$

Dividera båda sidor med 28 så får du

$a^3 = \frac{25.6}{28}$

Ta tredjeroten på båda sidor så får du

$a = \left(\frac{25.6}{28}\right)^{1/3}$

Därför ges funktionen y(x) av

$y(x) = 28 \cdot \left(\frac{25.6}{28}\right)^{x/3}$

Nu är frågan då $y(x) = 36.9$, så vi ställer upp ekvationen

$28 \cdot \left(\frac{25.6}{28}\right)^{x/3} = 36.9$

Dividera båda sidor med 28 så får du

$\left(\frac{25.6}{28}\right)^{x/3} = \frac{36.9}{28}$

Logaritmera båda sidor så får du

$\frac{x}{3}\cdot \lg\left(\frac{25.6}{28}\right) = \lg\left( \frac{36.9}{28} \right)$

Löser man ut x så får man

$x=\raisebox{1ex}{$3lg\left({\displaystyle \frac{36.9}{28}}\right)$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$lg\left({\displaystyle \frac{25.6}{28}}\right)$}\right.$

Detta är approximativt lika med -9.24, vilket därför ger ungefär att det skedde 9 timmar och 15 minuter innan 21:00. (Att ta med 15 minuter är kanske lite överdrivet exakt).

Är det denna funktion man ska utgå ifrån:

$y\left(t\right)=C{e}^{-B\frac{1}{t}}$

Affe Jkpg skrev :

Är det denna funktion man ska utgå ifrån:

$y\left(t\right)=C{e}^{-B\frac{1}{t}}$

För mycket glögg...

$y\left(t\right)=C{e}^{-Bt}$

Det tycks skilja bara några minuter mellan "Affe Jkpg"'s matematiska modell och den "Stokastisk" har använt.

Affe Jkpg skrev :

Affe Jkpg skrev :

Är det denna funktion man ska utgå ifrån:

$y\left(t\right)=C{e}^{-B\frac{1}{t}}$

För mycket glögg...

$y\left(t\right)=C{e}^{-Bt}$

Jag fick

$y\left(t\right)=36.9e^{-0.03t}$    t i timmar från skottillfället

Affe Jkpg skrev :

Det tycks skilja bara några minuter mellan "Affe Jkpg"'s matematiska modell och den "Stokastisk" har använt.

Vi använder ju samma modell? Bara att du har avrundat.

Stokastisk skrev :

Affe Jkpg skrev :

Det tycks skilja bara några minuter mellan "Affe Jkpg"'s matematiska modell och den "Stokastisk" har använt.

Vi använder ju samma modell? Bara att du har avrundat.

Samma...liknande skulle jag påstå.
Jag antar "e" som bas men du tycks räkna ut en annan. "Min latmask-variant" blir då matematiskt betydligt enklare.
Vi tycks ha t=0 (x=0) vid olika tidpunkter i resp. modell....

Affe Jkpg skrev :

Stokastisk skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

Det tycks skilja bara några minuter mellan "Affe Jkpg"'s matematiska modell och den "Stokastisk" har använt.

Vi använder ju samma modell? Bara att du har avrundat.

Samma...liknande skulle jag påstå.
Jag antar "e" som bas men du tycks räkna ut en annan. "Min latmask-variant" blir då matematiskt betydligt enklare.
Vi tycks ha t=0 (x=0) vid olika tidpunkter i resp. modell....

Det spelar ingen roll vilken bas man använder för sin matematiska modell.

Antingen använder man förändringsfaktorn som bas, typ $f\left(x\right)=C·a^x$ eller också använder man den naturliga logaritmens bas e. typ $g\left(x\right)=C·e^{kx}$.

Den enda skillnaden är att i första fallet har man förändringsfaktorn a som en av de obekanta, i andra fallet får man en skalfaktor k i exponenten som en av de obekanta.

För min egen del så tycker jag att så länge man inte ska derivera funktionen så är varianten med förändringsfaktor a som bas enklast att hantera, men om man ska derivera så blir den med basen e enklare.

Affe Jkpg skrev :

Samma...liknande skulle jag påstå.
Jag antar "e" som bas men du tycks räkna ut en annan. "Min latmask-variant" blir då matematiskt betydligt enklare.
Vi tycks ha t=0 (x=0) vid olika tidpunkter i resp. modell....

Det är samma modell, det som skiljer är parametriseringen av modellen, men det är fortfarande samma modell. Se Yngves inlägg om hur man går mellan de olika parametriseringarna.

Stokastisk skrev :

Affe Jkpg skrev :

Samma...liknande skulle jag påstå.
Jag antar "e" som bas men du tycks räkna ut en annan. "Min latmask-variant" blir då matematiskt betydligt enklare.
Vi tycks ha t=0 (x=0) vid olika tidpunkter i resp. modell....

Det är samma modell, det som skiljer är parametriseringen av modellen, men det är fortfarande samma modell. Se Yngves inlägg om hur man går mellan de olika parametriseringarna.

Jag fick inte kalla det för två olika "matematiska modeller". Nomenklaturen blev viktig.
När jag ser beräkningarna med "utgångpunkt" från $a^x$ blir det i alla fall på mitt papper bra mycket enklare med "utgångspunkt" från $e^{-Bt}$