Potensfunktioner
Visa spoiler
Skriv ditt dolda innehåll här
Hej!
Jag har svårt att lösa denna uppgift och behöver lite hjälp på traven.
Jag förstår inte riktigt hur man ska använda derivata och har försökt genom:
x + 1/x - 2 > 0 ger derivatan 1 + 1/x2 > 0
Då får jag att 1 > 1/x2 men får inte fram något bevis.
Tacksam för hjälp🙏🏼
Hej.
Att en funktions värde är större än 0 innebär inte automatiskt att dess derivatanä är större än 0.
Klicka här för att se ett exempel som visar detta
Vi tittar på funktionen g(x) = x2+1.
Det gäller att g(x) > 0 för alla värden på x, men eftersom g'(x) = 2x så gäller det inte att g'(x) > 0 för alla värden på x
För att lösa den här uppgiften kan du istället börja med att sätta funktionen f(x) = x+1/x och sedan med hjälp av derivata hitta funktionens minsta värde då x > 0.
(Tänk då på att derivatan av 1/x är -1/x2, inte 1/x2.)
Om detta minsta värde är större än eller lika med 2 så är du klar, annars måste du nysta vidare.
Tusen tack! Löste uppgiften och fick minimivärde 2
OK bra. Förstod du då metoden och varför den funkade?
Ja det gjorde jag. Korrekta mig om jag har fel. x+1/x > 2 när x>0 innebär att för alla positiva x-värden är x+1/x större än 2. Om vi sätter x+1/x som en funktion kan vi få fram minsta värdet genom derivata då vi får funktionens minimipunkt, som vi kan använda för att få funktionens minimivärde, dvs minsta värdet funktionen kan ha. Det gjorde jag genom en teckentabell. Minimipunkten vid x = 1 ger f(1) = 2 som då är minsta värdet vid x>0, vilket uppfyller sambandet eftersom det enligt x+1/x > 2 är minsta värdet 2.
Ja, du resonerar rätt.
(Det ska stå istället för > i din förklaring.)
