Potensfunktioner

Hej

Hur har du börjat själv? det går både att resonera sig fram genom att rita upp funktionen. Eller lösa det algebraiskt hur vill du göra? 

Jag har ej ritat den funktionen som är angiven i uppgiften eftersom jag ej vet hur man gör. Men däremot har jag deriverat funktionen vilket blev y'= -2x och sedan sätter in 0 i derivatan vilket visar att det blir 0 

Att rita kurvan $y = 9 - x^2$ lärde du dig i Ma2.Har du glömt hur man gör, måste du repetera det. Du kommer att behöva det, om du skall klara Ma3. Man an rita upp vilken funktion om helst genom att * välja ett x-värde, räkna ut tillhörande y-värde, pricka in  ett koordinatsystem, upprepa från * tills du vet hur kurvan skall se ut.

Har du en graf ritande räknare? annars kan du använda dig av GeoGebra. Det blir mycket lättare att förstå uppgiften om du ritar. 

Punkten $\left(0,2\right)$ ligger ej på kurvan $y=9-x^2$. Så om du stoppar in x-värdet 0, får du lutningen för den punkten som har koordinaten $\left(0,9\right)$ vilket ej efterfrågas.

Men om vi skriver upp dom villkor vi har för tangenten

• Den går i genom $\left(0,2\right)$
• Går i genom punkten $\left(x,y\right)$ på kurvan $y=9-x^2$
• Den ska ha samma lutningen där som kurvan.

Nu kan vi ta fram ett uttryck för k-värdet dvs lutningen för tangenten. Med hjälp av $\frac{∆y}{∆x}=k$. Hur gör vi det?

Det gör man genom att derivera funktionen och stoppa in 0 i derivatan 

Jag gjorde en värdetabell och ritade kurvan i ett kordinatssystem 

Det blev istället när jag korrigerade kurvan 

Okej så nu har du ritat grafen för den. En tydligare bild är t.ex. 

Men har du läst vad jag skrev innan? vi kan teckna ett uttryck för k-värdet för tangenten med hjälp av $\frac{∆y}{∆x}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=k$. Som sedan ska vara lika med derivatan för funktionen $y$ dvs $k=y\text{'}\Rightarrow k=-2x$. Men först måste du hitta ett uttryck för k hur gör vi det?

Ja jag har läst. Vi har 0.2 vilket är y 1 och x1 ,men vi kan ta 3,0 eller -3,0 som skär x axeln för att bestämma lutning

 k=-2x-9-x^2/0

Mahiya99 skrev :

 k=-2x-9-x^2/0

Nej det är fel, vissa gärna hur du har gjort! vi har punkten $\left(0,2\right)$ och $\left(x,y\right)$. Men punkten $\left(x,y\right)$ ligger på kurvan $y=9-x^2$. Då kan vi uttrycka våran andra koordinat som $\left(x;9-x^2\right)$ förstår du det? Därefter kan vi skaffa oss ett uttryck för $k$

Ok , så för att bestämma k så kan man lägga upp på det sättet 

k = -2x-9-x^2 / 9-x^2-0 

Nej nu blir det knasigt visa hur du kommer fram till k = -2x-9-x^2 / 9-x^2-0! 

$\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=k\Rightarrow \frac{9-x^2-2}{x-0}=\frac{7-x^2}{x}=k$ förstår du varför? 

Aa jag förstår

 Men vad händer sen  ? 

Mahiya99 skrev :

Aa jag förstår

Okej bra. Nu har vi ett uttryck för k-värdet för tangent och vi har en funktion som beskriver lutningen för kurvan. Klarar du av att lösa den sista delen själv?

Mahiya99 skrev 

 Men vad händer sen  ? 

Nu har vi ett uttryck för $y\text{'}$ och $k$ i $x$. Vi kan nu skapa en ekvation där vi letar efter det $x$ som den sökta tangenten ska vara. Dvs 

$y\text{'}=k\Rightarrow -2x=\frac{7-x^2}{x}$ 

Testa nu att lös ekvationen och dra slutsatsen du kommer framtill själv! Annars säg till så hjälper jag.

Jag löste ekvationen på följande vis. 

+- roten ur 7 

Har du rimlighetsbedömt ditt svar, t.ex. utifrån grafen?

Nej hur bedömer man det ? 

Hmm du slarvar lite vad blir $-2x^2+x^2$? blir det verkligen $x^2$?

Mahiya99 skrev :

Nej hur bedömer man det ? 

Om du drar tangenter från de punkter du fått fram verkar de gå genom punkten $(0,2)$ ?

Nej det blir -x^2

Precis, så vad blir $x$ då? Vilken slutsats kan du dra?

Det blir väl 0 

Nej förlåt det blir roten ur 7 vilket är ca 2.645 

Nej $-2x^2+x^2=7\Rightarrow -x^2=7\Rightarrow x^2=-7$. Vad kan du nu konstatera om tangenten?

Den saknar lösning. Det finns ingen tangenti den punkten 0,2

Ja exakt, ekvationen saknar reella lösningar. Vilket gör att det inte finns någon tangent som går genom punkten $\left(0,2\right)$ och kurvan $y=9-x^2$.