Potenser med roten ur

Ska du beräkna eller skriva om?

Om du ska beräkna kan du använda räknaren direkt.

Yngve skrev:

Ska du beräkna eller skriva om?

Om du ska beräkna kan du använda räknaren direkt.

jaha så man måste använda räknare för denna?

Hur lyder hela uppgiften?

${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}={\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}·\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2}$

Euclid skrev:

${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}={\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}·\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2}$

Nej. Fel i första steget.

${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}\ne {\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}$

joculator skrev:

${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}\ne {\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}$

Jag såg detta i morse och har försökt på lite lediga stunder att klura på detta, men det var inte så enkelt. Att joculator såg felet här inspirerade mig att fortsätta ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=(2^{\frac{1}{2}{)}^{2^{\frac{1}{2}}}}$men kom till $\sqrt{2^{\sqrt{2 }}}$sen blev det stopp.

Nu hemma sökte jag lite och hittade den här länken och då kändes det här inte som matte1 längre?
Var kommer uppgiften ifrån?

En tanke som dök upp hos mig vi kanske kan rita? Först försökte jag ta hjälp av logaritmer, men då gick jag i cirkel och konstaterade att roten ur två upphöjt till roten ur 2 blir precis det, vilket kändes lite snopet, men det gav mig ny inspiration.

Om vi ritar en kurva med basen roten ur två så får vi ekvationen $y={\sqrt{2}}^x$Vi väljer några lätta x-värden 0,1 och 2
Då har vi tre punkter i ett diagram nämligen $(0;1) (1;\sqrt{2}) (2;2)$

Axlarnas gradering växte fram efter två försök. Se nedan.

Nu kan vi under förutsättningen att vi vet att $\sqrt{2}$är 1,41, gå från 1,41 på x-axeln till vi möter kurvan.
Som ni ser är det lite svårt att med så få punkter rita en kurva. För att kompensera mina ritfel så försökte jag mig på en kompromiss. Därav höjde jag något eftersom ingen av ytterligheterna såg riktigt bra ut.
Min avläsning är mellan 1,6 och 1,65 och ett svar med 1,65 plus minus 0,5 borde vara rimligt.

Om vi slår ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$på räknaren får vi 1,63 vilket visar att det är möjligt att få fram ett hyfsat svar med lite tankemöda.

Ett tillägg kan väl vara att om vi inte känner till värdet 1,41, kan vi ändå få fram ett värde med en skiss på rutat papper.
Rita en diagonal som är 2 cm, rita sedan en sida och mät. 1,4 fick jag som ett ungefärligt mått, vilket också ger ungefär samma svar 1,6, men i det fallet bör man nog lägga till plus minus 0,1 i svaret. Med en diagonal på 20 cm kommer man något närmare 1,41 och vi kanske törs ge svaret 1,6 plus minus 0,5.