Potensekvationer

Man kan faktorisera det, jag visade hur man gjorde detta ett tag sedan., ska se om jag kan hitta mitt svar.. 

Två andra förslag (hittade inte tråden).

Polynomdivision 

Multiplicera varje polynom med a²+1

Jag tycker din metod är snabb och enkel. :)

Dracaena skrev:

Två andra förslag (hittade inte tråden).

Polynomdivision 

Multiplicera varje polynom med a²+1

Jag tycker din metod är snabb och enkel. :)

1. Polynomdivision var absolut mest övertygande, men lite knöligt är det förstås. Många chanser att göra fel. Det tog ett par försök innan jag hittade rätt. Den stora fördelen var att det blev mycket enkelt att se sambanden mellan det rätta svaret och divisionen. Jag  gick i skolan när vi använde "trappan" och inte som nu "liggande stolen", men jag ger en bild av hur det går till. Svårast var att förstå att jag skulle komma ihåg täljarens - 1 på slutet. Lite förvirrande med alla plus och minus som syns just i min sista beräkning för minusettan.

Man kan också se det som en geometrisk summa med k = -a².

Laguna skrev:

Man kan också se det som en geometrisk summa med k = -a².

Spännande det ska jag kika på om jag nu lyckas se sambanden. Lite julbrådska också, även om vi har en avspänd jul numera. 

Eftersom jag tycker det är viktigt att demonstera att man kan lösa en uppgift på måånga olika sätt så valde jag att lösa uppgiften på nytt ha faktorisering. Hoppas det är givande även dock jag tycker att poldiv är valet 99% av alla skall ta om man inte är van och duktig med att faktorisera.

Vi har $f(a) = a^{12}-1 = (a^6+1)(a^6-1)$ mha konjugatregeln. 

Nu ser vi att vi snabbt kan få ut nämnaren i uttrycket $a^6+1$. 

$a^6+1 = (a^2)^3+1^3=(a^2+1)(a^4-a^2+1)$ från sum of cubes. 

Här är formeln för er som inte känner till den:

Nu har vi alltså: 

$\dfrac{(a^2+1)(a^4-a^2+1)(a^6-1)}{a^2+1}=(a^4-a^2+1)(a^6-1)$ Nu kan vi expandera och se om det som trillar ut är något av alternativen.

Ett alternativ kan vara att titta på vad som händer om nämnaren multipliceras med respektive svar. Att titta på alla termer blir jobbigt och tar tid, vilket redan nämnts i tråden. Men vi kan titta på några utvalda exponenter. 

Den första är $a^12$ - den blir rätt i alla alternativ. 

Men $a^10$ är annorlunda. Där ska våra termer ta ut varandra. De produkter som bidrar till $a^10$ kommer att vara produkter av $a^8$ och $a^2$, samt mellan $a^10$ och 1. Dessa två ska tillsammans ta ut varandra. I (b) är koefficienterna olika, och i (c) har de samma tecken. 

Då kvarstår endast (a) och (d). Vi kan titta på resten av polynomet också, nu när vi bara har ett enda att räkna med, eller så kan vi använda någon annan metod. :)

Oj det här blev ju rena julafton för mig. Tack för alla svar. Jag ska försöka förstå alla, men det tar lite tid.

Dracaenas och Smutstvätts förslag att multiplicera varje polynom med nämnaren a² + 1 blev en överraskning för mig när jag nu testade det. Så lätt men så svår att komma på om man inte har tränat på det.
Jag kollade a) och den blev rätt och kanske tog två minuter. Kollade sedan c) och såg ganska snart att den går inte, vilket ledde till att b) inte heller kunde stämma. Mindre än fem minuter tog det att multiplicera nämnaren och alternativ a) och c).

Dracaenas faktorisering är också väldigt bra att jag fått som tips. Den ska jag absolut titta djupare på.

Lagunas förslag är mycket spännande för mig som just fördjupat mig i geometrisk summa och binomialsatsen. Kanske vågar jag be om lite mer starthjälp på den?

Summan 1+k+k²+...+kⁿ är lika med (1-kⁿ⁺¹)/(1-k). Du kan få det att bli lika med det givna uttrycket.

Laguna skrev:

Summan 1+k+k²+...+kⁿ är lika med (1-kⁿ⁺¹)/(1-k). Du kan få det att bli lika med det givna uttrycket.

Det som blir lite förvirrande är när jag sätter in $k=-a^2$

Då får vi $1+{(-a^2)}^1+{(-a^2)}^2+{(-a^2)}^3+{(-a^2)}^4+{(-a^2)}^5$=
$1-a^2+a^4-a^6+a^8-a^{10}$

$\frac{a^{12}-1}{a^2+1}=\frac{1-{(-a^2)}^{5+1}}{1-(-a^2)}=\frac{1-a^{12}}{1+a^2}$

Allt blir nästan rätt, men den övre kedjan behöver jag multiplicera med -1 liksom täljaren i summan.

Vart tänker jag fel?

Om du multiplicerar båda med -1 så är de fortfarande lika med varandra.

Laguna skrev:

Om du multiplicerar båda med -1 så är de fortfarande lika med varandra.

Ja det låter rimligt. Om jag sätter de lika med varandra så är det OK att multiplicera VL och HL med -1.

Om jag nu tänker rätt borde det innebära att om man ser sambandet mellan geometrisk summa och de givna alternativen så ser man möjligheten nära på ögonblickligen att b) och c) kan uteslutas närapå omedelbart. Möjligen kan sambandet k=-a² vara svårt att tänka fram eller?

ConnyN skrev:

Dracaenas och Smutstvätts förslag att multiplicera varje polynom med nämnaren a² + 1 blev en överraskning för mig när jag nu testade det. Så lätt men så svår att komma på om man inte har tränat på det.
Jag kollade a) och den blev rätt och kanske tog två minuter. Kollade sedan c) och såg ganska snart att den går inte, vilket ledde till att b) inte heller kunde stämma. Mindre än fem minuter tog det att multiplicera nämnaren och alternativ a) och c).

Ett tips här är som sagt att du kollar term för term, inte alternativ för alternativ. Då går det ofta fortare att utesluta felaktiga svar. :)

Tillägg: 22 dec 2022 11:52

När du väl reducerat ned alternativen, har du då mer tid kvar till att kontrollera hela polynomen. :)

ConnyN skrev:

Om jag nu tänker rätt borde det innebära att om man ser sambandet mellan geometrisk summa och de givna alternativen så ser man möjligheten nära på ögonblickligen att b) och c) kan uteslutas närapå omedelbart. Möjligen kan sambandet k=-a² vara svårt att tänka fram eller?

$-a^2$var det minsta bekymret. Att använda formeln $k=\frac{a_n}{a_{n-1}}$löser raskt problemet.

T.ex. $k=\frac{a_3}{a_2}=-\frac{a^4}{a^2}=-a^2$vilket visar sig gälla för alla element i serien från a), men inte b) och c) som då utesluts.

Sedan använde jag formeln $S_n=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}$ som gjorde det hela lite enklare.
Knepigt att man inte får ha några hjälpmedel på proven. Det gör det viktigare att förstå var de kommer ifrån så vad jag förstår så gäller det att förstå härledningar och snabbt kunna pussla ihop en formel själv. En fråga till Laguna: var det så du löste uppgiften?

I Dracaenas förslag med faktorisering dök det också upp en formel "sum of cubes". Inte svår, men hur ska man komma ihåg allt? Räkna många exempel kanske men, men ...?

I alla fall tack till er alla tre som deltagit i tråden. Mycket givande för mig.

En God Jul önskar jag er och alla som läser detta!!!