Potensekvation

Om ett gångbart värde på z är 1+i och du har ansatt z^9 = w så borde det gå att räkna ut vad w måste vara.

Har du lärt dig göra om komplexa tal i rektangulär form till polär form?

Smaragdalena skrev:

Har du lärt dig göra om komplexa tal i rektangulär form till polär form?

alltså ska jag lösa ekvationen z^9 = 1 + i?

z är den okända. Du ska skriva en ekvation som har 9 lösningar så din ansats z^9=w är bra. En 9:e gradsekvation har generellt 9 rötter. Kombinera det med vad Bedinsis säger. Du vet 1 lösning/rot. Sätt in den så får du w och vips så har du en ekvation med ett okänt z av grad 9 d.v.s. 9 rötter.

Peter skrev:

z är den okända. Du ska skriva en ekvation som har 9 lösningar så din ansats z^9=w är bra. En 9:e gradsekvation har generellt 9 rötter. Kombinera det med vad Bedinsis säger. Du vet 1 lösning/rot. Sätt in den så får du w och vips så har du en ekvation med ett okänt z av grad 9 d.v.s. 9 rötter.

ja tänker att jag börjar z^9 = r^9(cos 9v + i sin 9v) men sen tar det stopp

Ja, just det, det blir ju lite träligt att räkna (1+i)(1+i)...(1+i) och du har skrivit om det på polär form precis som Smaragdalena tipsade om. Det finns ett annat sätt att skriva på polär form (eulers formel). Har ni lärt er den? Då är det lättare att höja upp till potenser:

re^iφ=r(cosφ+isinφ)

Skriv om 1+i på den formen.

Peter skrev:

Ja, just det, det blir ju lite träligt att räkna (1+i)(1+i)...(1+i) och du har skrivit om det på polär form precis som Smaragdalena tipsade om. Det finns ett annat sätt att skriva på polär form (eulers formel). Har ni lärt er den? Då är det lättare att höja upp till potenser:

re^iφ=r(cosφ+isinφ)

Skriv om 1+i på den formen.

förstår inte vad eulers formel har att göra med detta, är det inte ekvationen z^n=w som gäller?

Peter skrev:

Ja, just det, det blir ju lite träligt att räkna (1+i)(1+i)...(1+i) och du har skrivit om det på polär form precis som Smaragdalena tipsade om. Det finns ett annat sätt att skriva på polär form (eulers formel). Har ni lärt er den? Då är det lättare att höja upp till potenser:

re^iφ=r(cosφ+isinφ)

Skriv om 1+i på den formen.

asså om jag skriver om den r(cos v + i sin v) vet jag att: z^9 = w, och sätter vi (1+i)^9 = w får jag att r = roten ur två, men vinkeln är ju arg tan 1/1 väl? och det blir 1,55... men det känns fel

hittills vet jag iallafall $z^9 = \left(\sqrt{2}\right)^9(\cos v + i \sin v)^9$och att n är 0,1,2. osv...? kan någon hjälpa mig hur jag ska få ut vinkeln?

melinasde skrev:

Peter skrev:

Ja, just det, det blir ju lite träligt att räkna (1+i)(1+i)...(1+i) och du har skrivit om det på polär form precis som Smaragdalena tipsade om. Det finns ett annat sätt att skriva på polär form (eulers formel). Har ni lärt er den? Då är det lättare att höja upp till potenser:

re^iφ=r(cosφ+isinφ)

Skriv om 1+i på den formen.

asså om jag skriver om den r(cos v + i sin v) vet jag att: z^9 = w, och sätter vi (1+i)^9 = w får jag att r = roten ur två, men vinkeln är ju arg tan 1/1 väl? och det blir 1,55... men det känns fel

 

hittills vet jag iallafall $z^9 = \left(\sqrt{2}\right)^9(\cos v + i \sin v)^9$och att n är 0,1,2. osv...? kan någon hjälpa mig hur jag ska få ut vinkeln?

eller ska jag tänka att vinkeln blir pi/2 för att 1 + i ligger i andra kvadranten? känns fortfarande fel...

1+i ligger inte i andra kvadranten.

Har du lärt dig att de 9 lösningarna till ekvationen z9=a+bi ligger jämnt fördelade på en cirkel med centrum i origo och radie = |a+bi|?

Smaragdalena skrev:

1+i ligger inte i andra kvadranten.

Har du lärt dig att de 9 lösningarna till ekvationen z9=a+bi ligger jämnt fördelade på en cirkel med centrum i origo och radie = |a+bi|?

Ja

Kan du

1. rita in punkten 1+i i det komplexa talplanet
2. rita en cirkel med centrum i origo som går genom punkten
3. beräkna hur stor vinkeln till "nästa" tal bland lösningarna är?

Smaragdalena skrev:

Kan du

1. rita in punkten 1+i i det komplexa talplanet
2. rita en cirkel med centrum i origo som går genom punkten
3. beräkna hur stor vinkeln till "nästa" tal bland lösningarna är?

ja 1, och 2 kan jag men hur ska jag beräkna vinkeln när jag bara har EN lösning? vad ska jag utgå från utöver punkten 1+ i i mitt koordinatsystem?

melinasde skrev:

Smaragdalena skrev:

Kan du

1. rita in punkten 1+i i det komplexa talplanet
2. rita en cirkel med centrum i origo som går genom punkten
3. beräkna hur stor vinkeln till "nästa" tal bland lösningarna är?

ja 1, och 2 kan jag men hur ska jag beräkna vinkeln när jag bara har EN lösning? vad ska jag utgå från utöver punkten 1+ i i mitt koordinatsystem?

okej fick fram att vinkeln var pi/4, men när jag skriver det med de moivres formeln blir det ju roten ur 2^9 (cos 9pi/4 + i sin 9pi/4)? och det kan man skriva som cos och sin 45 grader, som är roten ur 2/2, sätter vi in dessa värden får man 16 + 16i men är det svaret? 

Om du skall dela in ett helt varv i 9 lika stora delar - vilken vinkel får varje bit?

Smaragdalena skrev:

Om du skall dela in ett helt varv i 9 lika stora delar - vilken vinkel får varje bit?

365/9 ? 

365 är antalet dagar på ett (inte skott-)år, inte ett helt varv i någon vinkelenhet jag kämmer till. Bortsett från det tror jag att du tänker rätt.

Smaragdalena skrev:

365 är antalet dagar på ett (inte skott-)år, inte ett helt varv i någon vinkelenhet jag kämmer till. Bortsett från det tror jag att du tänker rätt.

Hoppsan ska ju stå 360, men om det är 360/9 blir ju viken 40 och inte 45?

40^o verkar bra. Du vet att en av rötterna har vinkeln 45^o. Vilka vinklar har de 8 andra vinklarna?

Känns som om det blev lite rörigt med den här uppgiften. Kan förstås då vara tveksamt om ännu en kock blandar sig i...men jag gör det ändå...Till att börja med, det man frågar om:

Du ska alltså hitta en potensekvation med 9 rötter om du vet en rot. Vanligare är att man får i uppgift att lösa en given potensekvation, dvs hitta alla rötterna, men nu är det tvärtom: Man ska hitta EN potensekvation där z = 1+i är en av rötterna. Vilka de andra 8 rötterna är frågar man inte om.

Hur gör man då? Ofta är det bra att börja fundera på ett enklare exempel som i princip handlar om samma sak. Säg att du har en potensekvation $x^n$= a som har 2 rötter, där en av rötterna ska vara x = - 2, och du ska skriva hur en sådan potensekvation kan se ut. $x^2$ = a (enligt era tidigare resonemang). Sätter jag a till ${(-2)}^2$, dvs 4, borde väl kravet vara uppfyllt... Får då $x^2$ = 4 och testar om x = - 2 är en rot. Ja, det fungerar. 

Vi tar ytterligare ett lite enklare exempel: Du har potensekvationen $u^n$ = b som har 3 rötter där en rot är u = 1, och du ska skriva hur en sådan ekvation kan se ut. Vi bör ha $u^3$ = b enligt tidigare resonemang. Sätter b till $1^3$, dvs 1, och hoppas att  kravet är uppfyllt. Får då $u^3$ = 1 och testar om u = 1 är en rot. Ja, så klart. Så här kan du gå till väga med alla potensekvationer, också $z^9$ = w. 

Om vi stannar upp lite vid exemplet $u^3$ = 1, en rot är u = 1, ser vi (som Smaragdalena nämner) att de andra två rötterna ligger utspridda med jämna vinkelmellanrum på en cirkelperiferi i komplexa talplanet. När det är tre rötter blir mellanrummet 360/3 = 120 grader mellan varje rot. Här börjar man med roten u = 1 som ligger på reella axeln  (0 grader) och går 120 grader i taget till de andra två rötterna (kommer till 120 och 240 grader). Det här med alla rötterna behövs inte för att lösa uppgiften vi håller på med, men bra att veta.

Tillbaka till vår uppgift, $z^9$  = w, en rot är z = 1+i, hur kan ekvationen se ut? Sätter vi w = ${(1+i)}^9$  bör det enligt vårt tidigare resonemang fungera. Hur man beräknar w genom att gå över till polär form har ni diskuterat. Du kom fram till att w = ${\left(\sqrt{2}\right)}^9(\cos (9\times 45) + i\times \sin (9x45\left)\right)$.  Det där kan du förenkla och beräkna så att du får ett prydligt uttryck för w och du är klar.

(När du diskuterade med Smaragdalena blandade du ihop den givna rotens vinkel (45 grader) med det vinkelmellanrum (40 grader) som gäller för att komma till nästa rot på cirkeln. Börjar du på 45 grader och tar 9 st 40-graderssteg hamnar du slutligen på 5 grader. Som sagt, bra saker att ha kläm på, men behövs inte för den här uppgiften.

En annan sak man kan lägga till om man vill: Vi tog den givna roten och upphöjde den till 9 för att få en potensekvation som uppfyllde vårt krav. Utöver den ekvationen finns sedan ingen annan ekvation som uppfyller vårt krav. Hade vi tagit någon av de andra rötterna och upphöjt till 9 hade det lett till samma ekvation)

mattenjutaren skrev:

Känns som om det blev lite rörigt med den här uppgiften. Kan förstås då vara tveksamt om ännu en kock blandar sig i...men jag gör det ändå...Till att börja med, det man frågar om:

Du ska alltså hitta en potensekvation med 9 rötter om du vet en rot. Vanligare är att man får i uppgift att lösa en given potensekvation, dvs hitta alla rötterna, men nu är det tvärtom: Man ska hitta EN potensekvation där z = 1+i är en av rötterna. Vilka de andra 8 rötterna är frågar man inte om.

Hur gör man då? Ofta är det bra att börja fundera på ett enklare exempel som i princip handlar om samma sak. Säg att du har en potensekvation $x^n$= a som har 2 rötter, där en av rötterna ska vara x = - 2, och du ska skriva hur en sådan potensekvation kan se ut. $x^2$ = a (enligt era tidigare resonemang). Sätter jag a till ${(-2)}^2$, dvs 4, borde väl kravet vara uppfyllt... Får då $x^2$ = 4 och testar om x = - 2 är en rot. Ja, det fungerar. 

Vi tar ytterligare ett lite enklare exempel: Du har potensekvationen $u^n$ = b som har 3 rötter där en rot är u = 1, och du ska skriva hur en sådan ekvation kan se ut. Vi bör ha $u^3$ = b enligt tidigare resonemang. Sätter b till $1^3$, dvs 1, och hoppas att  kravet är uppfyllt. Får då $u^3$ = 1 och testar om u = 1 är en rot. Ja, så klart. Så här kan du gå till väga med alla potensekvationer, också $z^9$ = w. 

Om vi stannar upp lite vid exemplet $u^3$ = 1, en rot är u = 1, ser vi (som Smaragdalena nämner) att de andra två rötterna ligger utspridda med jämna vinkelmellanrum på en cirkelperiferi i komplexa talplanet. När det är tre rötter blir mellanrummet 360/3 = 120 grader mellan varje rot. Här börjar man med roten u = 1 som ligger på reella axeln  (0 grader) och går 120 grader i taget till de andra två rötterna (kommer till 120 och 240 grader). Det här med alla rötterna behövs inte för att lösa uppgiften vi håller på med, men bra att veta.

Tillbaka till vår uppgift, $z^9$  = w, en rot är z = 1+i, hur kan ekvationen se ut? Sätter vi w = ${(1+i)}^9$  bör det enligt vårt tidigare resonemang fungera. Hur man beräknar w genom att gå över till polär form har ni diskuterat. Du kom fram till att w = ${\left(\sqrt{2}\right)}^9(\cos (9\times 45) + i\times \sin (9x45\left)\right)$.  Det där kan du förenkla och beräkna så att du får ett prydligt uttryck för w och du är klar.

(När du diskuterade med Smaragdalena blandade du ihop den givna rotens vinkel (45 grader) med det vinkelmellanrum (40 grader) som gäller för att komma till nästa rot på cirkeln. Börjar du på 45 grader och tar 9 st 40-graderssteg hamnar du slutligen på 5 grader. Som sagt, bra saker att ha kläm på, men behövs inte för den här uppgiften.

En annan sak man kan lägga till om man vill: Vi tog den givna roten och upphöjde den till 9 för att få en potensekvation som uppfyllde vårt krav. Utöver den ekvationen finns sedan ingen annan ekvation som uppfyller vårt krav. Hade vi tagit någon av de andra rötterna och upphöjt till 9 hade det lett till samma ekvation)

tack så hemskt mycket :)

Roligt att du uppskattade den långa utläggningen :-).

Ser att jag råkade skriva en tveksam sak inom parentesen angående de nio rötterna. När man startar med första roten vid 45 grader och "kliver på" med 40 grader i taget kommer man till andra roten (85 grader), tredje osv, tills man slutligen hamnar på den nionde vid 5 grader efter åtta steg. När man sedan tar det nionde har man gått varvet runt och är tillbaka vid utgångspunkten (45 grader)