Potens problem

Här får du experimentera! Jag hade försökt få sån liten exponent jag hade kunnat för att sedan rangordna dessa.

 Hej

Hur tänker du själv?

Du kan skriva om talen till en mer passande bas: $2^{15}={\left(2^3\right)}^5=8^5$, $3^{12}={\left(3^2\right)}^6=9^6$ vilket vi redan här ser att $3^{12}>2^{15}$. Tänka på samma sätt, kommer du vidare då?

Tips: $x^{ab} = (x^a)^b$

Exempelvis: $2^{15}=2^{5\cdot 3}=(2^5)^3=32^3$

Hej!

För att storleksordna talen finns det två strategier som du kan använda.

1. Skriv talen med samma bas (men med olika exponenter)
2. Skriv talen med samma exponent (men med olika baser)

Tittar man på talen ser man att deras baser är uppbyggda av de tre olika primtalen 2, 3 och 5 (talet 4 är inget primtal). Det betyder att Strategi 1 inte går att använda.

Exponenterna är alla delbara med talet 3: Man kan skriva $15 = 3 \cdot 5$  och $12 = 3 \cdot 4$  och  $9 = 3 \cdot 3$ och $6 = 3 \cdot 2$. Talen som ska storleksordnas kan därför skrivas

    $2^{3 \cdot 5}, 3^{3 \cdot 4}, 4^{3 \cdot 3}, 5^{3 \cdot 2}.$

Med en potensregel kan talen skrivas 

    $(2^{5})^{3}, (3^{4})^{3}, (4^{3})^{3}, (5^{2})^{3}.$

Problemet har nu förenklats till att storleksordna talen

    $2^{5}, 3^{4}, 4^{3}, 5^{2}$.

Notera att $4 = 2^{2}$ så att potensregeln låter dig skriva $4^{3} = (2^{2})^{3} = 2^{2 \cdot 3} = 2^{6}$ så att du ska storleksordna talen 

    $2^{5}, 3^{4}, 2^{6}, 5^{2}$. 

Dessa tal är tillräckligt små för att beräknas för hand: $2^{5} = 32$ och $3^{4} = 81$ och $5^{2} = 25$ och $2^{6} = 2 \cdot 32 = 64$.

Du ser att

    $25 < 32="">< 64=""><>$