Potens och exponentialfunktioner, tillämpningar

Hej, uppgiften lyder:

Karin öppnade ett bankkonto i sitt namn för 12 år sedan och satte in en viss summa pengar redan första dagen.

Banken gav Karin ett bra erbjudande, som innebar att pengarnas summa varje år kommer att öka med en viss procentsats. Idag, 12 år senare, har Karins pengar på banken fördubblats.

a)      Med hur många procent ökar Karins pengar varje år?

b)      Karins pengar hade hunnit växa till 4 500 kr för två år sedan. Hur länge dröjer det till pengarna

          växer till 50 000 kr, om den procentuella ökningen är lika stor varje år?

Lösning.

a) Ställer först upp en ekvation, där a står för förändringsfaktorn,

$2=a^{12}$  $\iff a=2^{1/12}$  $\approx 1,059$

Dvs. ökning med ca 6 % per år

b) Ställer upp en ekvation,

$4 500=C·2^{10/12} \iff C=\frac{4 500}{2^{5/6}}$

Vidare erhåller ekvationen,

$$\begin{gathered} 50 000=\left(\frac{4 500}{2^{5/6}}\right)·2^{x/12} \\ \iff \\ 50 000=4 500·2^{\frac{x-10}{12}} \\ \iff \\ lg\left(\frac{50 000}{4 500}\right)=\frac{x-10}{12}·lg 2 \\ \iff \\ x=\frac{12 lg\left(\frac{50 000}{4 500}\right)}{lg 2}+10 \end{gathered}$$

Och räknar ut detta. Verkar detta stämma? Vill bara vara på säkra sidan, tacksam för svar.